1、时域离散信号和时域离散系统第1 章1.41.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。题1图时域离散信号和时域离散系统第1 章解：x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号：2n+54n160n40 其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=时域离散信号和时域离散系统第1 章（3）令x1(n)=2x(n2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2n)，试画出x
2、3(n)波形。解解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)=+=4014)(6)()52(mmmnmnm时域离散信号和时域离散系统第1 章（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。(5)画x3(n)时，先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。时域离散信号和时域
3、离散系统第1 章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1 章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1 章题2解图（三）时域离散信号和时域离散系统第1 章题2解图（四）时域离散信号和时域离散系统第1 章3 判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。是常数AnAnx 873cos)(=)81(je)(=nnx(1)(2)解解：（1）因为=,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14（2）因为=,所以=16,这是无理数，因此是非周期序列。738123142=时域离散信号和时域离散系统第1 章4 对题1图给出的x(n)要求：(1)画出x(n)的波形；(2)计算xe(n)=x(n)
4、+x(n)，并画出xe(n)波形；(3)计算xo(n)=x(n)x(n)，并画出xo(n)波形;(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较，你能得2121时域离散信号和时域离散系统第1 章解解：（1）x(n)的波形如题4(2)将x(n)与x(n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。(3)画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。时域离散信号和时域离散系统第1 章题4解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1 章题4解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1 章题4解图（三）时域离散信号和时域离
5、散系统第1 章(4)很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。5 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)（2）y(n)=2x(n)+3（3）y(n)=x(nn0)n0（4）y(n)=x(n)时域离散信号和时域离散系统第1 章（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=（8）y(n)=x(n)sin(n)解解：（1）令
6、输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02)=y(n)=nmmx0)(时域离散信号和时域离散系统第1 章故该系统是非时变系统。因为y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2)Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)时域离散信号和时域离散系统第1 章（2）令输入
7、为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1 章(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=
8、aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1 章(4)y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。时域离散信号和时域离散系统第1 章（5）y(n)=x2(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2aTx1(n)+bTx2(n)=ax21
9、(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1 章（6）y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1 章（7）y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系
10、统。=nm 0=nm 0=00nnm=nm 0时域离散信号和时域离散系统第1 章（8）y(n)=x(n)sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)sin(n)y(nn0)=x(nn0)sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)sin(n)+bx2(n)sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1 章6 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）y(n)=x(nk)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)=x(k)（4）y(n)=x(nn0
11、)（5）y(n)=ex(n)=101NkN+=00nnnnk时域离散信号和时域离散系统第1 章解解：（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果|x(n)|M，则|y(n)|M，（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M,（3）如果|x(n)|M，则|y(n)|x(k)|2n0+1|M，因此系统是稳定的；假设n00，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。+=00nnnnk时域离散信号和时域离散系统第1 章=m（4）假设n00，系统是因果
12、系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|M，（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|M,则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM，7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。解解：解法（一）采用列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)时域离散信号和时域离散系统第1 章题7图时域离散信号和时域离散系统第1 章y(n)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5时域离散信号和时域离散系统第1 章解法（二）采用
13、解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+(n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故21时域离散信号和时域离散系统第1 章y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n1)+(n2)=2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式，得到y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2)+4.5(n3)+2(n4)+(n5)2121时域离散信号和时域离散系统第1 章8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别
14、求出输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=(n)(n2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)先确定求和域。由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mn=m时域离散信号和时域离散系统第1 章根据非零区间，将n分成四种情况求解：n7时，y(n)=0=nm 0=34nm时域离散信号和时域离散系统第1 章最后结果为0 n7n+1 0n38n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。(2)y(n)=2R4(n)*(n)(n2)=2R4(
15、n)2R4(n2)=2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=时域离散信号和时域离散系统第1 章题8解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1 章题8解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1 章(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为0m4,mn n0时，y(n)=0 0n4时，=m=m时域离散信号和时域离散系统第1 章=nmnmnny0115.015.015.05.0)(=(10.5n1)0.5n=20.5n n5时nnmmnny5.0315.05.015.015
16、.05.0)(4015=最后写成统一表达式：y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)时域离散信号和时域离散系统第1 章9 证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：（1）x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2）x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3）x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明：（1）因为令m=nm,则=mmnhmxnhnx)()()()()()()()()()(nxnhmhmnxnhnxm=时域离散信号和时域离散系统第1 章(2)利用上面已证明的结果，得到)()(
17、)()()()()()()()()()(12121221kmnhkhmxmnhmnhmxnhnhnxnhnhnxmkm=时域离散信号和时域离散系统第1 章交换求和号的次序，得到)()()()()()()()()(121221knhknxkhkmnhmxkhnhnhnxkmk=)()()(12nhnxnh=)()()(21nhnhnx=时域离散信号和时域离散系统第1 章)()()()()()()()()()()()()()()3(21212121nhnxnhnxmnhmxmnhmxmnhmnhmxnhnhnxmmm+=+=+=+=10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系
18、统的输入x(n)是一些观测数据，设x(n)=x0,x1,x2,xk,，试利用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统初始状态为零状态。时域离散信号和时域离散系统第1 章解解：5.083)(5.083)()()(0mnnmmmnmmxmnuxnhnxny=n=0时，n0083)(xny=n=1时，)5.0(835.083)(10110 xxxnymmm+=时域离散信号和时域离散系统第1 章)5.05.0(835.083)(2102220 xxxxnymmm+=n=2时，最后得到=nmmnmxny05.083)(11 设系统由下面差分方程描述：)1(21)()1(21)(+=nxnxnyny设系统
19、是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。时域离散信号和时域离散系统第1 章解解：令x(n)=(n),则)1(21)()1(21)(+=nnnhnhn=0时，1)1(21)0()1(21)0(=+=hhn=1时，12121)0(21)1()0(21)1(=+=+=hh时域离散信号和时域离散系统第1 章n=2时，21)1(21)2(=hhn=3时，221)2(21)3(=hh归纳起来，结果为)()1(21)(1nnunhn+=时域离散信号和时域离散系统第1 章12.设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=0，试分析该系统是否是线性非时变系统。解解：分析的方法
20、是让系统输入分别为(n)、(n1)、(n)+(n1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。（1）令x(n)=(n),这时系统的输出用y1(n)表示。)()1()(11nnayny+=该情况在教材例1.4.1 中已求出，y1(n)=anu(n)时域离散信号和时域离散系统第1 章(2)令x(n)=(n1)，这时系统的输出用y2(n)表示。)1()1()(22+=nnaynyn=0时，0)1()1()0(22=+=yayn=1时，1)0()0()1(22=+=yayn=2时，ayay=+=)1()1()2(2212)(=nany任意 n 时，时域离散信号和时域离散系统第1 章最后得到
21、)1()(12=nuanyn(3)令x(n)=(n)+(n1),系统的输出用y3(n)表示。)1()()1()(33+=nnnaynyn=0时，n=1时，1)1()0()1()0(33=+=yay1)0()1()0()1(33+=+=ayayn=2时，233)1()1()2()1()2(aaaayay+=+=+=时域离散信号和时域离散系统第1 章n=3时，任意 n 时，32233)()2()3()2()3(aaaaayay+=+=+=13)(+=nnaany最后得到)()1()(13nuanuanynn+=时域离散信号和时域离散系统第1 章由（1）和（2）得到y1(n)=T(n),y2(n)=
22、T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号，因此y3(n)=T(n)+(n1)。观察y1(n)、y2(n)、y3(n)，得到y3(n)=y1(n)+y2(n)，因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n),0a1描写的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。时域离散信号和时域离散系统第1 章13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)，式中，f=20 Hz,j=/2（1）求出xa(t)（2）用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样，试写出采样信号的表达式；（3
23、）画出对应的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。解解：（1）xa(t)的周期为)(txa)(txas 05.01=fT时域离散信号和时域离散系统第1 章)()40cos()()2cos()(nTtnTnTtfnTtxnna+=+=jj（2）（3）x(n)的数字频率=0.8，故，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。252=时域离散信号和时域离散系统第1 章题13解图时域离散信号和时域离散系统第1 章14.已知滑动平均滤波器的差分方程为)4()3()2()1()(51)(+=nxnxnxnxnxny（1）（2）如果输入信号波形如前
24、面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出y(n)并画出它的波形。解：（1）将题中差分方程中的x(n)用(n)代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即)4()3()2()1()(51)(+=nnnnnnh时域离散信号和时域离散系统第1 章（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为=kknhkxny)()()(表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中x(k)不动，h(k)反转后变成h(k)，h(nk)则随着n的加大向右滑动，每滑动一次，将h(nk)和x(k)对应相乘，再相加和平均，得到相应的y(n)。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示
25、。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。时域离散信号和时域离散系统第1 章时域离散信号和时域离散系统第1 章15*.已知系统的差分方程和输入信号分别为)2(2)()1(21)(+=+nxnxnyny 1 ,2 ,4 ,3 ,2 ,1 )(=nx用递推法计算系统的零状态响应。解：求解程序ex115.m如下：%程序ex115.m%调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1，2，3，4，2，1，zeros(1，10)；%x(n)=单位脉冲序列，长度N=31B=1，0，2；A=1，0.5；%差分方程系数时域离散信号和时域离散系统
26、第1 章yn=filter(B，A，xn)%调用filter解差分方程，求系统输出信号y(n)n=0：length(yn)1；subplot(3，2，1)；stem(n，yn，.)；axis(1，15，2，8)title(系统的零状态响应)；xlabel(n)；ylabel(y(n)程序运行结果：时域离散信号和时域离散系统第1 章yn=1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.76561.6172 -0.8086 0.4043-0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0
27、.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。时域离散信号和时域离散系统第1 章题15*解图时域离散信号和时域离散系统第1 章16*.（1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n)（2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。解解：（1）B1=1，A1=1，0.6，0.08（2）B2=2，0，1,A2=1，0.7，0.1时域离散信号和系统的频域分析第章2.5习题与上机题解答习题与上机题解答1
28、设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：(1)x(nn0)(2)x*(n)(3)x(n)(4)x(n)*y(n)(5)x(n)y(n)(6)nx(n)(7)x(2n)(8)x2(n)=奇数偶数nnnxnx 0 )2/()(9(9)时域离散信号和系统的频域分析第章解解：（1）=nnnnxnnxj00e)()(FT令n=nn0,即n=n+n0，则)e(e)()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn=+=（2）)e(e)(e)()(FTjjj=Xnxnxnxnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章（3）=nnnxnxje)()(FT令n=n，则)
29、e(e)()(FTjj=Xnxnxnn（4）FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej)下面证明上式成立：=mmnymxnynx)()()()(时域离散信号和系统的频域分析第章=mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm,则)e()e(e)(e)(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk=时域离散信号和系统的频域分析第章（5）nnnnnYnxnynxnynxjjjjede)e(21)(e)()()()(FT=)(j)(jd)e()e(21de)()e(21XYnxYjnnj时域离散信号和系统的频域分析第章或者=)(jjd)e()e(21)
30、()(FTYXnynx（6）因为=nnnxXjje)()e(对该式两边求导，得到)(jFTe)(jd)e(dnnxnnxXnnjj=时域离散信号和系统的频域分析第章因此d)e(dj)(FTjXnnx=（7）=nnnxnxje)2()2(FT令n=2n，则时域离散信号和系统的频域分析第章)(e)e(21)(ee)(21e)()1()(21e)()2(FT)(21j21j21j21j21j，2/j=+=+=+=XXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶数时域离散信号和系统的频域分析第章或者)e()e(21)2(FT21j21j+=XXnx（8）=nnnxnxj22e)()(FT利用
31、（5）题结果，令x(n)=y(n),则=d)e()e(21)e()e(21)(FTjjjj2XXXXnx时域离散信号和系统的频域分析第章（9）=nnnxnxje)2/()2/(FT令n=n/2，则)e(e)()2/(FT2 j2 jXnxnxnn=2 已知=|,0|,1)e(00jX求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。时域离散信号和系统的频域分析第章解解：nnnxnsinde21)(0j00=3.线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()，如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为)(cos|)e(|)(00j0j+
32、=nHAny时域离散信号和系统的频域分析第章解解：假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)，则系统输出为nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je)e(e)(e e)()()()(=上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。利用该性质解此题：时域离散信号和系统的频域分析第章)cos()(0j+=nAnxeeee 21jjjj00jj+=nnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e(eee)e(e21)e(ee)e(ee 21)(jjjj+=+=HHeAHHAnynnnn时域
33、离散信号和系统的频域分析第章上式中|H(ej)|是的偶函数，相位函数是的奇函数，|H(ej)|=|H(e-j)|，()=(),故)(cos()e(eeeeee)e(21)(00j)(j)(jjj000000jjj+=+=nHAHAnynjjnj4设=其它01.01)(nnx时域离散信号和系统的频域分析第章将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出x(n)和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。)(nx)(nx)(nx)(kX解：画出x(n)和的波形如题4解图所示。)(nx为周期以4)(e)4cos(2)ee(ee1ee)()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXk
34、nxnxkXkkkkknknknn=+=+=时域离散信号和系统的频域分析第章题4解图时域离散信号和系统的频域分析第章或者为周期以4)(41sin21sine )e(ee)ee(ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn=时域离散信号和系统的频域分析第章)2(e)4cos()2()(2)42()(42)(FT)e(4jjkkkkXkkXnxXkkkk=时域离散信号和系统的频域分析第章5.设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算或工作：题5图时域离散信号和系统的频域分析第章)e(0 jX(
35、1)(2)jd)e(X(3)e(jX(4)确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)；2jd|)(e|X(5)(6)d|d)e(d|2jX时域离散信号和系统的频域分析第章解解(1)6)()e(730 j=nnxX(2)42)0(d)e(j=xX(3)2)()1(e)()e(73jj=nnnnnxnxX（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即=nnjnxeXRjeee)()()()(21)(enxnxnx+=时域离散信号和系统的频域分析第章按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图时域离散信号和系统的频域分析第章(5)28)(2d)e(7322=njnxX(
36、6)因为)(jFTd)e(djnnxX=因此316)(2dd)e(d7322j=nnnxX时域离散信号和系统的频域分析第章6 试求如下序列的傅里叶变换：(1)x1(n)=(n3)(2)1(21)()1(21)(2+=nnnnx(3)x3(n)=anu(n)0a1(4)x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e(=nnnX时域离散信号和系统的频域分析第章(2)cos1)ee(211 e211e21e)()e(jjjjj2j2+=+=+=nnnxX(3)j0jjj3e11e e)()e(=aanuaXnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章(4)=+=33jjj4ee
37、 )4()3()e(nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeee+=+=+=nnnnnnnn)21sin()27sin(e)ee(e)ee(eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j=时域离散信号和系统的频域分析第章或者:)3()4()3()(73+=+=nRnununxnnnRXj7j4e)3()e(=+=j7 j60j7e1e1e)(FT=nnnRnnnRXj7j4e)3()e(=+=3 jj7 jee1e1=)21sin()27sin()ee(e)ee(ee)ee(e)ee
38、(e2j2j2j27j27j2j3 j2j2j227j2727j=jj时域离散信号和系统的频域分析第章7 设：（1）x(n)是实偶函数，（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换性质。解解：令=nnnxXjje)()e(1)因为x(n)是实偶函数，对上式两边取共轭，得到)e(e)(e)()e(j)(jjj=XnxnxXnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章因此X(ej)=X*（ej）上式说明x(n)是实序列，X(ej)具有共轭对称性质。=+=nnnnxnxXsinj)cos(e)()e(jj由于x(n)是偶函数，x(n)sin是奇函数，那么=nnx0sin)
39、(因此=nnxXcos)()e(j时域离散信号和系统的频域分析第章该式说明X(ej)是实函数，且是的偶函数。总结以上,x(n)是实偶函数时，对应的傅里叶变换X(ej)是实函数，是的偶函数。（2）x(n)是实奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ej)具有共轭对称性质，即X(ej)=X*(ej)=+=nnnnxnxXsinj)cos(e)()e(jj时域离散信号和系统的频域分析第章由于x(n)是奇函数，上式中x(n)cos是奇函数，那么0cos)(=nnx因此=nnxXsin)(j)(ej这说明X(ej)是纯虚数，且是的奇函数。8 设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(
40、n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。时域离散信号和系统的频域分析第章解解：)()(21)(44enRnRnx+=)()(21)(44onRnRnx=xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。题8解图时域离散信号和系统的频域分析第章9已知x(n)=anu(n),0a1，分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解解：=nnnxXjje)()e(因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej)的实部，xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j，因此时域离散信号和系统的频域分析第章cos21cos1e1e1e11e11)e()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRX
41、Rnx+=cos21sine1e1e11Imje11Imje(Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo+=时域离散信号和系统的频域分析第章10 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解解：nnRnhnhHjeejjje)()(FT e21e211cos1)e(=+=+=时域离散信号和系统的频域分析第章=121011 21)(ennnnh=nnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e)()e(2/jjjj=+=nnnhH时域离散信号和系统的频域分析第章11 若序列
42、h(n)是实因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解解：eej21sin)e(jjj=IH=nnoIonhHnhjjjje)(ee 21)(ej)(FT时域离散信号和系统的频域分析第章=12100121)(onnnnh=nnnnnhnnhnnh其它011010)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e)()e(2/jjjj=+=nnnhH时域离散信号和系统的频域分析第章12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题：(1)求出系统输出序列y(n)；(2)分别求出x
43、(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解解(1)2(2)()2()()()()(2+=+=nuanuannnuanxnhnynnn时域离散信号和系统的频域分析第章(2)2 jjje21e)2(2)()e(=+=+=nnnnXj0jjje11ee)()e(=aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e()e()e(+=aXHY时域离散信号和系统的频域分析第章13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)，式中f0=100 Hz，以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式Xa(j)；（2）写出和x(n)的
44、表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。解解：)(txa)(txa)(txa)(txa+=tttttxXtttttaade ee de)cos(2de)()j(jjjj0j00时域离散信号和系统的频域分析第章上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：)()(2)j(00+=aX（2）)()cos(2)()()(0=nnaanTtnTnTttxtx=nnTnx-)cos(2)(0ms 5.21 rad 2002s00=fTf时域离散信号和系统的频域分析第章（3）)()(2 )jj(1)(s00=+=ksksaakkTkXTjX式中rad/
45、s 8002ss=f)2()2(2e ee e)cos(2e)cos(2e)()e(00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn+=+=时域离散信号和系统的频域分析第章式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1)2nu(n)(2)2nu(n1)(3)2nu(n)(4)(n)(5)(n1)(6)2nu(n)u(n10)时域离散信号和系统的频域分析第章解(1)21 2112)(2)(2ZT110=zzzznununnnnnnn(2)21 21121222)
46、1(2)1(2ZT1111=zzzzzzznununnnnnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章21 2112 2)(2)(2ZT00=zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4)ZT(n)=10|z|(5)ZT(n1)=z10|z|(6)=0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn时域离散信号和系统的频域分析第章15 求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。(1)x(n)=RN(n)N=4(2)x(n)=Arncos(0n+j)u(n)r=0.9,0=0.5 rad,j=0.25 rad(3)+=其它02 12 0)(NnNnN
47、Nnnnx式中，N=4。时域离散信号和系统的频域分析第章解(1)=0 )1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0，得零点为3 ,2 ,1 ,0 ez 42j=kkk由z3(z1)=0，得极点为z1,2=0,1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示，图中,z=1处的零极点相互对消。时域离散信号和系统的频域分析第章题15解图时域离散信号和系统的频域分析第章(2)(ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjj+=+=e1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000=+=+=zrzrAzrzrAzXjnnnnn
48、nnnjjjj)e1()e1()cos(cos1j1j1000=zrzrzrAjjrz 时域离散信号和系统的频域分析第章零点为 cos)cos(01jj=rz极点为00j3j2e e=rzrz极零点分布图如题15解图(b)(3)令y(n)=R4(n),则x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2,X(z)=z1Y(z)2时域离散信号和系统的频域分析第章因为)1(111)(3414=zzzzzzY因此2472341)1(11)1(1)(=zzzzzzzzX极点为z1=0,z2=1零点为3 ,2 ,1 ,0 e42j=kzkk在z=1处的极零点相互对消，收敛域为0|z|，极零点分布图如
49、题15解图(c)所示。时域离散信号和系统的频域分析第章16 已知112122113)(+=zzzX求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。解解：X(z)有两个极点：z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：|z|0.5，0.5|z|2，2|z|。三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）收敛域|z|0.5：时域离散信号和系统的频域分析第章zzzXjnxcnd)(21)(1=令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5.0(75 )21)(5.01(75)()(11111=n0时，因为c内无极点，x(n)=0;n1时，c内有极点 0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极
50、点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么时域离散信号和系统的频域分析第章)1(22)21(3)2()2)(5.0()75()5.0()2)(5.0()75(2),(sRe5.0),(sRe)(25.0+=nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收敛域0.5|z|2:)2)(5.0()75()(=zzzzzFn时域离散信号和系统的频域分析第章n0时，c内有极点0.5，nzFnx)21(35.0 ),(sRe)(=n0时，c内有极点 0.5、0，但 0 是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，x(n)=ResF(z),2=2 2nu(n1)最后得到)1(22
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