2.4 振型分解反应谱法.pdf

1、第二章结构抗震基本知识第二章结构抗震基本知识2.1 计算原则计算原则2.2 地震作用地震作用2.3 设计反应谱设计反应谱2.4 振型分解反应谱法振型分解反应谱法2.5 底部剪力法底部剪力法2.6 结构竖向地震作用结构竖向地震作用2.7 结构抗震验算结构抗震验算2.4 振型分解反应谱法振型分解反应谱法大多数结构物都应简化为多质点体系分析。而振型分解反应谱法是弹性体系地震反应的基本方法。其基本概念：(1)假定建筑结构是线弹性多自由度体系；(2)利用振型分解，变为求解n个独立的等效单自由度弹性体系的最大地震反应，从而求得每一振型的作用效应；(3)按SRSS或CQC法则进行作用效应组合。振型分解法只需

2、考虑前几阶振型，减小计算量。一、不考虑扭转影响时结构的地震作用和作用效应对大多数质量和刚度分布比较均匀和对称的结构不需要考虑水平地震作用下的扭转影响，可在建筑物的两个主轴方向分别考虑水平地震作用进行验算。1.多自由度弹性体系的运动方程()()()()()()()图2-12多自由度弹性体系位移在n质点即n个自由度的弹性体系：M为质量矩阵，一般采用集中质量阵形式：K刚度矩阵，nn阶对角矩阵，如果只考虑层间剪切变形的层间剪切结构K为三对角矩阵)()()()(txIMtxKtxCtxMg&=+12nMdiag m mm=L,（2-24）（2-25）C阻尼矩阵C=M+K瑞利阻尼形式（2-26）其中、由1

3、、2、确定；I单位列向量。122多自由度弹性体系的自由振动将式（2-24）略去阻尼项和右端项，振动方程：0)()(=+txKtxM&（2-27）设（2-27）式的解为：振动幅值向量即振型，不随时间而变；)sin()(+=tXtx)sin()(2+=tXtx&2()x t=X其中：初相角。（2-28）（2-29）将式(2-28)、(2-29)代入式(2-27)，得：0)(2=XMK(2-30)为了体系振动，必须是非零解，则：X 20KM=(2-31)该方程的n个根、即是体系的n个自振频率，一般有：21222nL222212jnLL21将所求的依次代回（2-30），可得到与之相对应的，即为振型。j

4、 jX一个两自由度体系：体系的自由振动方程为：(即式(2-30)频率方程(即式(2-31)021222221122111=XXmKKKmK2111122212220KmKKKm=(2-32)(2-33)可解出，将之带回(2-32)式2122式（2-32）是齐次方程组，两个方程线性相关当，代入只能得到各向量之间的比值：第一振型：212222111121211mKKXX=第二振型：12211122221mKKXX=每一振型的幅值之比都是常数，不随时间而变。(2-34a)(2-34b)3振型的正交性(1)振型关于质量矩阵的正交性：其矩阵表达式为：0=kTjXMXkj(2-35)式(2-35)是根据功

5、的互等定理推导而来，式中，分别为体系第、振型的振幅向量。jX kXjk物理意义：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型上作功，说明某一个振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。(2)振型关于刚度矩阵的正交性其矩阵表达式为(由功的互等定理而来)：0=kTjXKX)(kj(2-36)再根据式(2-35)即可推得。物理意义：该体系按k振型振动引起得弹性恢复力在j振型位移所作的功之和等于零，也即体系按某一振型振动时，它得位移不会转移到其它振型上去。kkXMXK2=其中(3)振型关于阻尼矩阵的正交性令：C=M+K （2-26）则有：0=kT

6、jXCX)(kj 当j=k时，j振型的广义阻尼为：jTjjXCXC=（2-37）（2-38）例题2-3已知某两个质点的弹性体系（如图），其结构参数为：，。验算质量矩阵和刚度矩阵的正交性。()()()X11=0.618X12=1.0X22=1.0X21=-1.618图2-13两质点弹性体系的振型（a）两质点弹性体系；(b)第一振型；(c)第二振型mmm=21KKK=21质量矩阵和刚度矩阵分别为：=mmM00=KKKKK2=1618.0X=1618.12X第一振型和第二振型分别为：解：（1）验算振型关于质量矩阵的正交性由式（2-61）得：=000.1618.100000.1618.021mmXMX

7、T0000.1618.1000.1618.0=mm（2）验算振型关于刚度矩阵的正交性由式（2-68）得：=000.1618.12000.1618.021KKKKXKXT0618.2236.4000.1618.0=KK4.振型分解n个自由度的弹性体系具有n个独立振型。例如：3个自由度体系。2212223 TXxxx=1111213 TXxxx=3313233 TXxxx=Xji:j振型i自由度的相对位移。（2-39）由(2-39)形成矩阵：123 AXXX=111213212223313233xxxxxxxxx=33（2-40）按照振型叠加原理，弹性结构体系中每一个自由度在振动过程中的位移可以表

8、示为：1()()nijijjx tx q t=式中：为j振型的广义坐标,即以振型作为坐标系的位移值。)(tqj(2-41)()ix t整个结构体系的位移列向量、速度列向量和加速度列向量可分别表示为:112212()()()()nnnx tqx tqX tXXXA qx tq =LMM)()(tqAtx&=)()(tqAtx&=(2-42a)(2-42b)(2-42c)5.计算水平地震作用的振型分解反应谱法地震作用下的运动微分方程为：()txIMtxKtxCtxMg&=+)()()(2-24)将(2-42a)、(2-42b)、(2-42c)式代入上式并对方程两端左乘得：TA ()()TTAMAq

9、 tACAq t+&()()TTgAKAq tAMI x t+=&利用正交性，对式(2-43)化简，展开后可得n个独立的二阶微分方程，对于第j振型有：()()TTjjjjjjXMXq tXCXq t+&()()TTjgjjjXKXq tXMI x t+=&(2-43)(2-44)其中：广义质量：*TjjjMXMX=广义阻尼：*TjjjCXCX=广义刚度：*TjjjKXKX=则有：)()()()(txIMXtqKtqCtqMgTjjjjjjj&=+(2-45)仿照单自由度体系，、和的关系：*jM*jC*jK=jjjjjjjMKMC22(2-46)其中，表示第j振型的阻尼的圆频率。j将上式代入式(

10、2-45)，并用j振型的广义质量除等式的两端，得：2()2()()()()TjjjjjjjgjTjjXMIqtqtqtxtx tXMX+=&),2,1(njL=(2-47)其中：表示j振型参与系数(很重要)，表示第i振型对结构总响应贡献的大小。TjjXMX分析式(2-45)：相当于单自由度弹性体系的运动方程，区别在于：此广义坐标作为未知量而不是；方程右端项多1个，经过坐标变换将n自由度弹性体系的运动方程进行解耦。()jq t()x tj参照单自由度体系，Duhamel积分，方程(2-49)式的解为：()0()()sin()()jjttjjgjjjjq txetdt=&),2,1(njL=为、单

11、自由度弹性体系的位移。()jtjj（2-48）多自由度弹性体系i质点相对于基础的位移和加速度为：=njjijjiXttx1)()(=njjijjiXttx1)()(&由结构力学得：=njjijX11为振型幅值，jiX()jq t()q t&、分别见式（2-41）和式（2-42）。（2-49a）（2-49b）（2-50）第i自由度t时刻的水平地震作用Fi(t)=作用在i质点的惯性力：()()()iiigF tmx txt=+&=+=njgjijjijjitxXXtm1)()(&则j振型i自由度得水平作用Fi(t)为：()()()jiijjjijjigF tmt XX x t=+&（2-51）（2

12、-52）其中：为单自由度体系的；是j振型自振周期的影响系数。maxmax)()()(ttxXmtFFjgjijijiji+=&jjjiiX G=),2,1;,2,1(njniLL=max()()gjx tt+&(,)ajjS gSjjaj/),(=(2-53)6.地震作用效应有了Fji后计算j振型水平地震作用产生的作用效应。对于层间剪切结构，j振型地震作用下各楼层水平地震层间剪力：),2,1(niFVnikjkjiL=(2-54)图2-15 j振型水平地震作用式(2-53)、(2-54)是整个地震作用过程中各振型作用效应的最大值。而最大值并不出现在同一时刻，不能简单叠加存在一个各振型作用效应组

13、合问题。规范规定了两种组合方法：平方和开方SRSS；完整的二次项组合法(CQC法)。SRSS法适用范围：平稳随机过程；各振型之间独立。2jSS=(2-55)例2-4.试用振型分解反应谱法计算人如图所示的三层框架，在多遇地震时的层间地震剪力。已知抗震设防烈度为8度，设计地震分组为第二组，类场地，阻尼比取0.05。321图2-16 三层框架示意解：（1）求解结构体系的周期和振型由矩阵迭代法（或雅可比法）可计算出结构体系的三个自振周期和振型分别为：第一振型 000.1667.0334.01=TXsT467.01=第二振型 000.1666.0667.02=TX第三振型sT208.02=000.103

14、5.3019.43=TXsT134.03=第一振型，因，所以：（2）计算各振型的地震影响系数查得多遇地震时设防烈度为8度的查得类场地、设计地震分组为第二组当阻尼比时，16.0max=sTg40.0=05.0=0.12=9.0=第二振型ggTTT51139.016.00.1467.040.09.0max21=TTg第三振型16.0max2=16.0max3=由式（2-84）计算各振型的振型参与系数第一振型：363.11764000.12646667.02646334.01764000.12646667.02646334.022231213111=+=iiiiiiGXGX第二振型：32123221

15、0.428iiiiiiX GX G=（3）计算各振型的参与系数(4)计算各振型各楼层的水平地震作用各振型各楼层的水平地震作用由式(2-96)计算：第三振型：331332310.063iiiiiiX GX G=第一振型：iiiGXF1111=kNF4.1672646334.0363.1139.011=kNF4.3342646667.0363.1139.012=kNF2.3341764000.1363.1139.013=第二振型：21120.9FkN=22120.7FkN=23120.8FkN=第三振型：iiiGXF2222=iiiGXF3333=31107.2FkN=3280.9FkN=3317

16、.8FkN=(5)计算各振型的层间剪力第一振型：=nikkiFV11kNV0.8362.3344.3344.16711=+=kNV6.6682.3344.33412=+=kNV2.33413=第二振型：=nikkiFV2221120.8VkN=220.1VkN=kNV8.12023=第三振型：=nikkiFV333144.1VkN=3263.1VkN=kNV8.1733=（6）计算水平地震作用效应各层层间剪力由式（2-97）计算各层层间剪力2221112131845.8VVVVkN=+=2671.6VkN=3355.8VkN=图2-17 各振型的地震剪力(kN)（a）第一振型地震剪力；（b）第

17、二振型地震剪力；（c）第三振型地震剪力和组合后各层地震剪力(kN)规则结构:由于施工、使用等原因所产生的偶然偏心有扭转现象；规范规定：规则结构不进行扭转耦联计算时，平行于地震作用方向的两个边榀，其地震作用效应增大系数：(短边)1.15(长边)1.05扭转K小时乘数不小于1.3二、估计水平地震作用扭转影响的结构地震作用和作用效应平面复杂、不规则、质量刚度明显不均匀、不对称的多高层建筑大量出现规范规定：对这类建筑应考虑水平地震作用下的扭转影响；过去采用“偏心矩法”，人为主观因素较多，物理概念不明确。规范：采用振型分解反应谱法计算平移-扭转耦联的多高层建筑的水平地震作用。要解决以下三个问题：（1）求

18、解平移扭转耦联体系的自由振动；（2）计算各振型水平地震作用标准值的表达式；（3）各振型地震作用效应的组合方法。1 平移扭转耦联体系的自由振动 楼板自身平面内绝对刚性，平面外刚度忽略不计；各榀抗侧力结构(框架或剪力墙)自身平面内刚度很大，平面外忽略；所有构件不考虑自身的抗扭作用；振动计算时，将质量(包括柱、墙的质量)集中到各层楼板处。基本假定：集中在每一楼层的质量有三个自由度，两个正交水平移动和一个转角，坐标原点一般选在各楼层的质心处，如图2-19所示，坐标轴为一折线形轴，运动方程：()()()MD tCD tKD t+&()gMD t=&（2-56）图2-19计算简图其中：为广义质量阵（3n3

19、n）M JmmdiagM=12 nmdiag m mm=L其中mi是第 i楼层的质量；12 nJdiag JJJ=L22()/12iiJm ab=+上式表示第i层质量对本楼层质心的转动惯量。a、b分别是本楼层的长短边。iJ（2-57）（2-58）（2-59）K为广义侧移刚度阵：=KKKKKKKKYTzpYYYzpzz00（2-60）上式表明两个平动之间无耦联；1ynxxxssKK=（2-61）其中为平行于轴框架的榀数yn为平行于轴第s榀框架的刚度矩阵szK=xnrrryyKK1（2-62）yyx其中为第i层第s榀方向框架的y向坐标 1ynxxsssKKr=12 ssnssYdiag yyy=L

20、1sy（2-63）（2-64）图2-20第i层平面图其中为第i层第r榀y方向框架的x向坐标 1xnxyrrrKKr=12 rrnrrXdiag xxx=Lirx 11yxnnTTzysssrrrsrKyKyXKX=+（2-65）（2-66）（2-67）其中D为广义位移，且：121212TnnnDuuuvvv=LLL地面运动水平加速度时间历程函数：)(tDg&TTDTDTggoIItdtDsincos)()(&=为地面运动加速度的时间历程；为地面运动方向与x轴的夹角。D()gdt&其中：（2-68）先求解平动扭转耦联体系的自由振动，其方程为：0MDKD+=&结构体系的自由度为3n（n为结构的层数

21、），常用雅可比法求解。（2-69）2.结构体系考虑扭转影响的水平地震作用仍按振型分解法：()()()()()=tqAtDtqAtDtqAtD&)(为振型矩阵。A（2-70）将式(2-70)代入运动方程（2-56），并利用振型正交性原理，可将方程（2-56）分解成为3n个相互独立的二阶微分方程，其通式为：()tdqqqgjjjjjjj&=+22)3,2,1(nnjLL=（2-71）经过与单向平移振动时相类似的推导，可以得到考虑扭转地震效应时第j振型第i层的水平地震作用标准值计算公式：=ijiitjjtjiijitjjyjiijitjjxjiGrFGYFGXF2),2,1;,2,1(mjniLL=

22、（2-72）当仅考虑x方向地震时：=+=niiijijijiniijitjGrYXGX122221)(当仅考虑y方向地震时：当仅考虑与x方向斜交的地震时：=+=niiijijijiniijitjGrYXGY122221)(sincosyjxjtj+=其中、分别为由式（273）和式（274）求得的参与系数xjyj（2-73）（2-74）（2-75）3 考虑扭转作用时的振型组合问题采用用振型分解反应谱法，用式（272）计算各振型的水平地震作用再计算每一振型水平地震作用产生的作用效应各效应按一定的规则组合，以获得总的地震作用效应。考虑扭转影响时体系振动的特点：自由度增加频率分布密集，振型耦联严重考虑振型之间的相关性；扭转分量的影响不一定随高振型而衰减增加振型的数可取915个。规范规定按下式组合（单向水平地震作用的扭转效应）：=mjmkkjjkEkSSS11()TTkjTTTkjjk2225.1)1(41)1(8+=（2-76）（2-77）关于：当j=k时，1，1，完全自相关。增加，减小，说明低振型 与高振型之间相关性很小。双向水平地震作用时扭转效应，取max jkTjkTjk22)85.0(yxEkSSS+=22)85.0(xyEkSSS+=或、分别为x、y单向水平地震作用按式(276)计算的扭转效应。ySxS（2-78）（2-79）