北大附中高二级第一学期数学期末考试 (解答版.doc

1、北大附中高二年级第一学期数学期末考试 (解答版) 2002年1月21日一填空题：（共计40分）1已知：一个等差数列an的前3项为-8、-5、-2、. 它的通项公式是a n = 3n-11 ；它的前20项的和= 410 。2已知一个等比数列bn ,b4=12 ，b7=18 ，则 b1= 8 , 数列cn 满足cn=bn3 ，cn的前n项的和Sn= 。3以P（-3，-5），Q（5，1）为直径端点的圆的方程的一般式为：(x-1)2+(y+2)2=254. 椭圆的焦点是F1（-3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为： 5. 直线2x-y

2、-4=0被(x-a)2+y2=25所截的弦长等于2， a的取值为： -3或76一个数列an的通项公式为an = 5n+3(-2)n 7，它的前10项的和为： 22517在圆(x-2)2+(y+1)2=25内做的弦长为6的动弦，则弦的中点轨迹的方程为：(x-2)2+(y+1)2=16 提示：动弦的中点到圆心的距离不变，且为4。8过P（-3，5）做圆x2+y2=9的切线，切线方程为： 8x+15y-51=0, x+3=0 ，设切点为A、B，则AB所在直线的方程是： 3x-5y+9=0 。9已知椭圆的中心是原点、对称轴是坐标轴，且过点（0，3），离心率e=，这个椭圆对应的标准方程是： 。10若方程x

3、2-（10+a）x+2a2+5a+21=0 有两个实根x1、x2满足：x15x2，则a的取值范围是：a .提示：设f（x）= x2-（10+a）x+2a2+5a+21 ，原题条件等价于f（5） 0 。二选择题：将题目的答案对应于题目序号填入下表中：(3 10=30 分)题目12345678910答案DBACCADCBD11. 设a、b、c是三个实数。则命题“b=”是“a、b、c三个数成等比数列”的什么条件？A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D. 既不充分又不必要条件.解:当a=c=0时，b=成立，但它们不构成等比数列；这说明“不充分”； a、b、c三个数成等比数列时，b可以等

4、于-，这说明“不必要”。选D12 .已知an是等差数列，则下列不等式中正确的是A. a3a6a4a5 B. a3a6a4a5 C. a3a6a4a5 D. a3a6a4a5解：令a4 =m , a4a5 -a3a6 = m(m+d)-(m-d)(m+2d) = 2d20 选B.13. 等差数列an中 a1= -5，它的前11项的算术平均值是5，若从中抽取一项，余下的10项平均值为4，则抽取的是A. a11 B. a10 C. a9 D. a8解:由已知它的前11项的算术平均值是5,得s11=55, 从而由55=(-5)11+11 5d,d=2.再由余下的10项平均值为4知抽取一项的数值为55-

5、40=15=(-5)+10d.为a11.14等比数列an中 a11 B.q1 C.0q1 D. q0，又由已知a1 an an+1 an得到0q1，选C15. 已知等比数列的公比是2，前4项之和为1，则它的前8项之和为A. 9 B. 15 C. 17 D. 19解:由已知a1+a2+a3+a4=1, a5+a6+a7+a8=( a1+a2+a3+a4)q4=16，S8=17. 选C16. a、b是实数，那么“a2+b2a+b”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D. 既不充分又不必要条件.解：a2+b2 -1a1, -1b (1-a)(1-b)0 = 1+aba+b. 而(1

6、-a)(1-b)0 推不出-1a1, -1b1。从而“a2+b2a+b”的充分非必要条件。选A。17. 某人于1996年元旦去银行存了a元的一年的定期储蓄，1997年元旦他到银行将到期的本息一起取出，再加上a元后，一并再存一个一年的定期储蓄。此后每年元旦他都到银行按同样的办法取款和存款。假设银行定期存款的年利率r不变，则到2002年元旦他不存款而将所有的存款和利息取出，取出的钱数为：A. a(1+r)6 元 B. a(1+r)7元C. a (1+r)6(1+r) /r元 D. a (1+r)7(1+r) /r元解: 设q=(1+r)，2002年元旦所有存款和利息为：aq6+aq5+aq4+aq

7、3+aq2+aq=a q7 q /r,选D。18.已知集合M=（x,y）| x2+y2 0 , MN=N, 则r的取值范围是：A. （0，-1） B. （0，1） C. （0，2） D. （0，2）解: 由已知N是M的子集，圆(x-1)2+(y-1)2 = r2应在圆x2+y2 = 4的内部，结合图形可知0r1时，由an = Sn- Sn-1=3+2 an -（3+2 an-1）=2 an - 2 an-1 得到an= 2 an-1 又a1=S1= -3，故选B。20已知椭圆 的两个焦点为F1 、 F2，过F2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A、B，则三角形ABF1的周长是A.20 B.24

8、 C. 32 D. 40解: 由椭圆的定义知三角形ABF1的周长应为4a=40，选D三需要写过程的解答题21 （8分）已知椭圆方程为：16x2+12y2 =192 求：(1)它的离心率e ，（2）它的准线方程，(2)在椭圆上求点P的坐标，使它到焦点F（0，-c）的距离为5.解：（1）它的离心率, a=4, c=. e= c/a =0.5.（2）它的准线方程为y=a/e= 8 和 y= -8.（3）由椭圆的第二定义：|PF|=5=e(yp+8) ,= yp=2,代入椭圆方程为：16x2+12y2 =192得到xp=3 .所求P点的坐标为 (3,2), (-3,2).22（8分）一个周长为48的矩

9、形中，如图1所示地放入了2个全等的、与矩形相切的椭圆，椭圆的对称轴分别与矩形相邻两边平行。已知椭圆的面积可以用公式：S=ab 来计算，其中a,b分别是椭圆的半长轴、半短轴的长度。求出每一个椭圆可能达到的最大面积和相应a、b的取值。解：由题目条件：矩形的周长为48和椭圆与矩形相切，可以得到：4a+8b=48，a、b都是正实数。a+2b=12, a,b R+ . S=ab = 0.5(a2b) 0.518(面积单位)。 等号成立当且仅当 a=2b=6, 所以当a=6、b=3时，椭圆有相应的最大面积为18(面积单位)。23 （14分）一个数列an的前n项的公式 Sn=, n N(1)求出an的通项公

10、式，并判断它是否是等比数列。若是，给出证明；若不是给出反例。(2)另有一个数列，满足：bn=， n N。bn的前n项和记为Bn，求Bn的最小值；再求|Bn|的最小值。(3)数列cn是这样定义的：cn=数列bn中的第n2项。又坐标平面上的一串点:Pn（n2，cn），n N。问能否找到一个面积最小的圆，使其内部（包括边界）恰好包含了Pn中的5个点？若可能,请求出这个圆的方程；若不能，请说明理由。解：（1）a1=s1=1/729，当n1, an=Sn-Sn-1=3n-7, 特别地a1=1/729也满足这个公式。所以an的通项公式为an=3n-7，n N 。an+1/an= 3, 对一切自然数n成立，

11、由定义知an是等比数列。（2）数列bn，满足：bn=2n-14， b7=0 Bn的最小值=B6=B7= -42，而b13=12, b1=-12 ,B13=0, |Bn|的最小值=B13=0.（3）因为cn=数列bn中的第n2项=2 n2-14，所以Pn（n2，cn）分布在一条直线l:y=2x-14上, P1(1,-12), P5(25,36). 线段P1P5上一定有Pn（n2，cn）的前5个点，cn=2 n2-14是n增函数，Pn（n2，cn）相邻两点间的距离| Pn Pn+1 |2 = 5(2n+1)2将随着n的增加而增加，以线段P1P5为直径的圆一定是包含了Pn中的5个点, 且面积最小的圆。这个圆的方程是：这个圆的方程是：(x-1)(x-25)+(y+12)(y-36)=0 化简得：x2+y2-26x-24y-407=0 或(x-13)2+(y-12)2=720难度系数: 0.64