工程力学扭转变形.ppt

1、 工程力学工程力学（材料力学部分）（材料力学部分）扭扭 转转 概述概述 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 切应力互等定律与剪切胡克定律切应力互等定律与剪切胡克定律 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度分析强度分析 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 非圆截面等直杆扭转简介非圆截面等直杆扭转简介扭扭 转转 概概 述述 轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转变形扭转变形：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的

2、轴线直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmm OBA 扭转角（扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：）：直角的改变量。直角的改变量。mmOBA工工 程程 实实 例例工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴传动轴传动轴将产生将产生扭转扭转传动轴传动轴工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴连接汽轮机连接汽轮机和发电机的和发电机的传动轴将产传动轴将产生扭转生扭转工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴n 请判断哪一杆请判断哪一杆件将发生扭转件将发生扭转当两只手用力当两只手用力相等时，拧紧相等

3、时，拧紧罗母的工具杆罗母的工具杆将产生扭转将产生扭转工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴n 请判断轴受请判断轴受哪些力将发哪些力将发生扭转变形生扭转变形 动力传递与扭矩动力传递与扭矩一、一、传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 传动轴传递的功率、转速与外力偶矩的关系：传动轴传递的功率、转速与外力偶矩的关系：其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW）n 转速，转转速，转/分（分（rpm）其中：其中：P 功率，马力（功率，马力（PS）n 转速，转转速，转/分（分（rpm）1kW=1.36PS3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋的转向与截面外法线方向满足右

4、手螺旋规则为正，反之为负。规则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作作“T”。2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTx 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩 变化规律的图线。变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置 强度计算（危险截强度计算（危险截面）。面）。xT 例例1已知已知：一传动轴，：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=15

5、0kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。试绘制扭矩图。A B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩A B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。xTA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37 切应力互等定律与剪切胡克定律切应力互等定律与剪切胡克定律 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成

6、斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。均未改变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。acddxbdy 无正应力无正应力 横截面上各点处，只产横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪生垂直于半径的均匀分布的剪应力应力 ，沿周向大小不变，方向，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。与该截面的扭矩方向一致。4.与与 的关的关系：系：微小矩形单元体如图

7、所示：微小矩形单元体如图所示：二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小：A0：平均半径所作圆的面积。平均半径所作圆的面积。三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理：上式上式称为剪应力互等定理称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线。acddxb dy tz 四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：单元体的四个侧面上只有剪应力而无正单元体的四个侧面上只

8、有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状纯剪切应力状态。态。T=m 剪切虎克定律剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。剪应力与剪应变成正比关系。式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无无量纲，故量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢值可通过实验确定，钢材的材的G值约为值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材

9、料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面等直圆杆横截面应力应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1.横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面；2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平纵向线变形后仍为平行。行。一、等直

10、圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成成正比。正比。扭转角沿长度方向变化率扭转角沿长度方向变化率。2.物理关系：物理关系：虎克定律：虎克定律：代入上式得：代入上式得：3.静力学关系：静力学关系：OdA令代入物理关系式代入物理关系式 得：得：横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点处任一点剪应力计算公式。剪应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的仅适用于各向同性、线弹性材料，在小

11、变形时的等圆截面直杆。等圆截面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：单位：mm4，m4。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是空心圆截面杆，只是Ip值不同。值不同。对于实心圆截面：对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：对于空心圆截面：dDOd 应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，工程上采用空心截面构

12、件：提高强度，节约材料，重量轻，重量轻，结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。确定最大剪应力：确定最大剪应力：由由知：知：当当Wp 抗扭截面系数（抗扭截面模抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：量），几何量，单位：mm3或或m3。对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的的螺旋线断开。螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。因此还需要研究斜截面上的应力。(应力状态理论研究）应力状态理论研究）四、圆

13、轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：(称为许用称为许用剪应力。剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：例例 功率为功率为150150kW，转速为转速为924924转转/分的电动机转子轴如图，分的电动机转子轴如图，许用剪应力许用剪应力 =30=30M Pa,Pa,试校核其强度。试校核其强度。Tm解：解：求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmx等直圆杆在扭

14、转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式由公式知：长为知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为二、单位扭转角二、单位扭转角 ：或或三、刚度条件三、刚度条件或或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度抗扭刚度。称为许用单位扭转角称为许用单位扭转角。刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：校核刚度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。例例 长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力

15、偶 m=20Nm/m 的作用，如的作用，如图，若杆的内外径之比为图，若杆的内外径之比为 =0.8=0.8，G=80=80GPa ，许用剪应力许用剪应力 =30=30MPa，试设计杆的外径；若试设计杆的外径；若 =2/=2/m ，试校核此杆的试校核此杆的刚度，并求右端面转角。刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径40NmxT代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度40NmxT右端面转角右端面转角为：为：例例4 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率输入功率P1=500 马力，马力，输出功率分别输出功

16、率分别 P2=200马力及马力及 P3=300马力，已知：马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m，试确定：试确定：AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：解：图示状态下图示状态下,扭矩如扭矩如图，图，500400P1P3P2ACBTx7.024 4.21(kNm)由刚度条件得：由刚度条件得：500400P1P3P2ACBTx7.0244.21(kNm)综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时 轴上的轴上的绝对值最大绝对值最大的的扭矩扭矩越小越合理

17、，所以，越小越合理，所以，1轮和轮和2轮应该轮应该换换位。位。换位后换位后,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示,此时此时,轴的最大直径才为轴的最大直径才为 75 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。例例 长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=

18、20Nm/m 的的作用，如图，若杆的内外径之比为作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8=0.8，外径，外径 D=0.0226m=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图杆的受力图如图示，这是一次超静定问示，这是一次超静定问题。题。平衡方程为：平衡方程为：几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程 综合物理方程与几何方程，得补充方程：综合物理方程与几何方程，得补充方程：由平衡方程和补充方程得由平衡方程和补充方程得：另另:此题可由对称性直接求得结果。此题可由对称性直接求得结果。非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非

19、圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。相邻截面的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩

20、形杆横截面上的剪应力:h bh 1T max 注意！注意！b1.1.剪应力分布如图：剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）（角点、形心、长短边中点）2.最大剪应力及单位扭转角最大剪应力及单位扭转角h bh 1T max 注意！注意！b其中：其中：其中：其中：It相当极惯性矩。相当极惯性矩。注意！注意！对于对于W t 和和 It ，教材与手册上有如下定义教材与手册上有如下定义：查表求查表求 和和 时一定要时一定要注意，表中注意，表中 和和 与那套公与那套公式对应。式对应。h bh 1T max 注意！注意！b 例例88 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100 mm，b=50mm，长度长度L=2m，杆的两端受扭转力偶杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的作用的作用 ，钢的，钢的G=80GPa ，=100M Pa，=1/m ，试校核此杆的强度和刚度。试校核此杆的强度和刚度。解：解：查表求查表求 、校核强度校核强度校核刚度校核刚度综上综上,此杆满足强度和刚度要求。此杆满足强度和刚度要求。