东华理工大学概率论与数理统计练习册答案.doc

1、 第一章 概率论的基本概念一、选择题1答案：（B）2. 答案：（B）解：AUB表示A与B至少有一个发生,-AB表示A与B不能同时发生,因此(AUB)(-AB)表示A与B恰有一个发生 3答案：（C）4. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容.5. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容,即.6. 答案：（D） 注:由C得出A+B=.7. 答案：（C）8. 答案：（D） 注：选项B由于9.答案：（C） 注：古典概型中事件A发生的概率为.10.答案：（A）解：用A来表示事件“此个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件“此个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知，故.11.答

2、案：（C）12.答案：（B）解：“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”，说明，故；而故.13.答案：（D）解：由可知故A与B独立.14.答案：（A）解：由于事件A,B是互不相容的，故，因此P(A|B)=.15.答案：（D）解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A的对立事件“密码最终没能被译出”，事件只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故.16.答案：（B）解：所求的概率为注：.17.答案：（A）解：

3、用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i箱”，则由全概率公式知.18.答案：（C）解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i类箱子”，则由全概率公式知.19.答案：（C）解：即求条件概率.由Bayes公式知.二、填空题1.（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）2.或30.3，0.5解：若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），于是P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3；若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B），于是由P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P

4、（A）+P（B）-P（A）P（B），得.4.0.7解：由题设P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解：因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又，所以.6.0.6解：由题设P（A）=0.7，P（）=0.3，利用公式知=0.7-0.3=0.4，故.7.7/12解：因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，于是.8.1/4解：因为由题设，因此有，解得P（A）=3/4或P（A）=1/4，又题设P（A）1/2,故P（A）=1/4.9.1/6解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另

5、外，用全概率公式也可求解.10.解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为，故所求的概率为.11.3/7解：设事件A=抽取的产品为工厂A生产的，B=抽取的产品为工厂B生产的，C=抽取的是次品，则P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A）=0.01，P（C|B）=0.02，故有贝叶斯公式知.12.6/11解：设A=甲射击，B=乙射击，C=目标被击中，则P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5，故.三、设A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一个发生的概率。解：P (A，B，C至少有一个发生)

6、=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+ P(ABC)= 四、 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得五、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：A1=男人，A2=女人，B=色盲，显然A1A2=S，A1 A2=由已知条件知由贝叶斯公式，有六、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）记A1，A2分别表

7、“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。B=A1B+A2B且A1，A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =第二章 随机变量及其分布一、选择题1.答案：（B）注：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，但事件X=a未必是不可能事件.2.答案：（B）解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此.3.答案：（D）解：由于X服从上的均匀分布,故随机变量X的概率密度为.因此，若点，则.，.4 答案：（C）解：由于故由于而，故只有当时，才有；正态分布中的参数只要求，对没有要求.5.答案：（A）解：由于，故，而，故

8、；由于，故.6.答案：（B）解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为.7.答案：（D）注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页.8.答案：（C）解：因为，所以，.9.答案：（B）解：由于，所以的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y轴对称，因此随机变量落在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出.我们可以画出函数的图形，借助图形来选出答案B.也可以直接推导如下：，令，则有10.答案：（A）解：.11.答案：（B）解：.12.答案：（D）解：对任意的；选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对

9、于指数分布而言，要求参数.13.答案：（A）解：选项A改为，才是正确的；.14.答案：（B）解：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为.而方程有实根，当且仅当，因此方程有实根的概率为.二、填空题1.2.解：由规范性知.3.解：由规范性知.4.解：因为，所以只有在F（X）的不连续点（x=-1,1,2）上PX=x不为0,且P（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，PX=1=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，PX=2=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=PX=2=2a+b-2/3，故a=

10、1/6，b=5/6.5.解：由于，所以X的概率密度为，故.6.；7.解：.8.解:由.90解：故.三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律为 也可列为下表X： 3， 4，5P：四、 设随机变量X的分布函数为，求（1）P (X2), P 0X3, P (2X)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2， P (0X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）五、设随机变量的概率密度为求X的分布函数F (x)。解：故分布函数为六、设K在（0，5）上

11、服从均匀分布，求方程有实根的概率 K的分布密度为：要方程有根，就是要K满足(4K)244 (K+2)0。解不等式，得K2时，方程有实根。七、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度为：Y=g (X) =eX是单调增函数又X=h (Y)=lnY，反函数存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度为：八、设X的概率密度为求Y=sin X的概率密度。FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy)当y0时：FY ( y)=0当0y1时：FY ( y) = P (si

12、nXy) = P (0Xarc sin y或arc sin yX) =当1y时：FY ( y)=1 Y的概率密度( y )为：y0时，( y )= FY ( y) = (0 ) = 00y1时，( y )= FY ( y) = =1y时，( y )= FY ( y) = = 0第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.答案：（A）解：要使是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质，在这里利用这一性质可以得到，只有选型A满足条件.2.答案：（A）解：由可知，故又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：故.3.答案：（D）解：联合分布可以唯一确定边缘分布，但边缘分布不能唯一确定联合分布

13、，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布.4.答案：（A）解：由问题的实际意义可知，随机事件与相互独立，故；，而事件又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即故.5.答案：（B）解：当时，且X和Y相互独立的充要条件是；单由关于S和关于T的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的.6.答案：（C）解：（方法1）首先证明一个结论，若，则.证明过程如下（这里采用分布函数法来求的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于故这表明也服从正态分布，且.所以这里.再利用结论：若与相互独立，且，则.便可得出；;.（方法2）

14、我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若，则故；;.7.答案：（A）解：由于，所以，故，而，所以.8.答案：（D）解：由联合概率密度函数的规范性知.9.答案：（A）解：.10.答案：（）解：由联合概率密度函数的规范性知12.答案：（C）解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G表示矩形域，则所求的概率为.13.答案：（B）解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若，则因此；.令，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z的概率密度函数为，故.二、填空题1.F（b,c）-F(a,c);F(a

15、,b);F(+,a)-F(+,0);F(+,b)-F(a,b).2.3.解：，故.4.05.解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+ P（X=1）P（Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/

16、2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.三、设随机变量（X，Y）概率密度为（1）确定常数k。（2）求P X1, Y3（3）求P (X180=P X1180, X2180, X3180, X4180 =P X1804=1pX1804= (0.1587)4=0.00063第四章 随机变量的数字特征一、选择题1答案：（D）解：由于，所以，故. 2.答案：（D）解： 3.答案：（D）解：，故；，故；，故；，但不能说明X与Y独立. 4.答案：（C）解：由于X,Y独立，所以2X与3Y也独立，故. 5.答案：（C）解：当X,Y独立时，；而当X,Y独立时，故；. 6.答案：（C）解：，当X,Y独立时，

17、可以得到而，即X,Y不相关，但不能得出X,Y独立；，故；，故. 7.答案：（D）解：，即X,Y不相关. 8.答案：（A）解：，即X,Y不相关. 9.答案：（C）解：成立的前提条件是X,Y相互独立；当X,Y相互独立时，有，即成立的充分条件是X,Y相互独立；而即X,Y不相关，所以成立的充要条件是X,Y不相关；. 10.答案：（D）解：由；.11.答案：（B）解：由；是一个确定的常数，所以.12.答案：（D）解：13.答案：（B）解：，故.14.答案：（C）解：.15.答案：（B）解：由于当时，故这里.16.答案：（A）解：由于，所以，又因为，所以，而与的独立性未知，所以的值无法计算，故的值未知.1

18、7.答案：（C）解：由于(X,Y)服从区域上的均匀分布，所以(X,Y)的概率密度为，则.18.答案：（D）解：令，则有，但不一定有.19.答案：（A）解：由题意知，故Y服从参数为3和1/4的二项分布，即，因此.20.答案：（D）解：，只有当X与Y独立时，才有.二、填空题1.解：由题设=，故.2.解：假设P（X=-1）=a，P（X=0）=b，P（X=1）=c,则a+b+c=1,-a+0+c=,a+c=,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即的概率分布是P（X=-1）=0.4，P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5.3. ,;,0, 1.4.解：由题设，故的概率密度函数为.5.解：由题设.6

19、.解：=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12；=-=67/12-49/16=121/48；=-2+E（1）=-7/2+1=-5/2.7.解：.8.解：由于X服从n=10，p=0.4的二项分布，根据二项分布的性质，EX=np=4，DX=np（1-p）=2.4，故E（）= DX+（EX）=18.4.三、设随机变量X的分布为X202Pk0.40.30.3求 E (X)，E (3X2+5)解：E (X)= (2)0.4+00.3+20.3=0.2E (X2)= (2)20.4+020.3+220.3=2.8E (3X2+5) = 3E (X2)+

20、 E (5)= 8.4+5=13.4四、设随机变量X的概率密度为求（1）Y=2X（2）Y=e2x的数学期望。解：（1） （2） 五、设随机变量X1，X2的概率密度分别为求（1）E (X1+X2)，E (2X13)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)解：（1） = （2） = （3）六、设随机变量X和Y的联合分布为：XY1011001验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。证：P X=1 Y=1=P X=1= P Y=1= P X=1 Y=1P X=1 P Y=1 X，Y不是独立的又E (X )=1+0+1=0 E (Y )=1+0+1=0 COV(X, Y )=EXE (X

21、)YE (Y )= E (XY )EXEY = (1)(1) +(1)1+1(1)+11=0 X，Y是不相关的七、设随机变量（X1，X2）具有概率密度。，0x2,0y2求E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），解： D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =第五章 大数定理及中心极限定理一、选择题1.（A）2.（C）3.（C）解:设X:炮弹命中的数量，则，由中心极限定理，因此4.（C）注：不意味服从正态分布，不要只看符号形式5.（B） 解:因为服从参数为2的指数分布,故有令,由独立同分布的中心极限定理有二、填空题1. ，2.0三、据以往经验某种电

22、器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。解：设第i只寿命为Xi，（1i16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章定理1知 从而四、某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差2=400 为了估计，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命X1，Xn，以作为的估计，为使问n至少为多少？解：由中心极限定理知，当n很大时 = 所以查标准正态分布表知即n至少取1537。第六章 样本及抽样分布一、选择题1. ( C

23、 )2.（C） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.（D）注：当总体服从正态分布时D才成立，当然在大样本下，由中心极限定理有近似服从4.（B）5.（D）对于答案D,由于，且相互独立，根据分布的定义有6(C) 注： 才是正确的.7.(D)8.(C) 注：，才是正确的9.(B) 根据得到10.(A) 解：， 由分布的定义有二、填空题1与总体同分布，且相互独立的一组随机变量2.代表性和独立性3.，4.，5. 0.16.7.8.三、在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。解：四、设X1，X2，Xn是来自泊松分布 ( )的一个样本，S

24、2分别为样本均值和样本方差，求E (), D (), E (S 2 ).解：由X ( )知E (X )= ，E ()=E (X )= , D ()=第七章 参数估计一、选择题1.答案： D.解因为，所以2.答案： D. 解 因为，所以，.3. 答案 A . 解似然函数，由，得.4. 答案 C. 解在上面第5题中用取代即可.5. 答案 A. 解求解同填空第7题.6. 答案 B. 解求解同填空第9题.7. 答案 C. 解因为，且，.8.答案 B. 解求解同上面第9，10题.9答案 D. 解求解同第12题.10.答案 B. 解 的最大似然估计量是.11.答案 A. 解提示：根据置信区间的定义直接推出

25、.12.答案 D. 解同填空题25题.13.答案 B. 解同填空题第28题.14. 答案 A.解因为，所以选A.二、填空题1. 矩估计和最大似然估计；2.，；3. ，；解 （1）矩估计因为=，所以，即的矩估计量.（2）最大似然估计因为，对其求导：.4. , ；解 （1）的矩估计为：样本的一阶原点矩为：所以有：（2）的最大似然估计为：得：.5. ； 解 因为所以极大似然函数，.6. ，； 解 （1） 矩估计：，样本的一阶原点矩为：所以有：.（2）极大似然估计：似然函数，则 .7. ，；解因为，所以令则，.8. ，；9. 数学期望E(X)； 解 10. ； 解.11. ； 解 ，所以；12. 14

26、.754，15.146；解 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为： 由题得： 代入即得：所以为：13. 0.15，0.31； 解 由得：，所以的置信区间为：， ，将，代入得 ，.三、设X1，X1，Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的极大似然估计量及矩估计量。解：（1）矩估计 X ( )，E (X )= ，故=为矩估计量。（2）极大似然估计，为极大似然估计量。（其中四、设总体X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(0 D (T2)所以T2较为有效。六、 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.

27、1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N （，2），求的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知=0.6（小时）（2）若为未知。解：（1）的置信度为0.95的置信区间为（），计算得（2）的置信度为0.95的置信区间为（），计算得，查表t0.025(8)=2.3060.第八章 假设检验一、选择题1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.D二、填空题1. 2. 1.176三、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在 = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值

28、总体XN（， 2）， 2均未知步骤：（1）提出假设检验H：=3.25; H1：3.25（2）选取检验统计量为（3）H的拒绝域为| t |（4）n=5, = 0.01，由计算知查表t0.005(4)=4.6041, （5）故在 = 0.01下，接受假设H0四、要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为 =100小时的正态分布。试在显著水平 = 0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为。即需检验假设H0：1000，H1：1000。解：步骤：（1）1000；H1：0.005（2）H0的拒绝域为（3）n=

29、9， = 0.05，S=0.007，由计算知查表（4）故在 = 0.05下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显著地偏大。东华理工大学20102011学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A1）一、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）-1 1 30.5 0.3 0.2(1) 3 （2） （3） 5 （4） （5）(6) （9.9902， 10.0098）(7) 二、选择题：(本大题共7小题，每小题2分，共14分)三、一座20层的高楼的底层电梯上了10位乘客，乘客从第3层起开始离开电梯，每一名乘客在各层离开电梯是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率。（7分）解：设表示事件没有两

30、位乘客在同一层离开，则样本空间包含的样本点数为，事件包含的样本点数为，因此四、已知随机变量，且X与Y相互独立，设(1) 求； (2) 求(12分)解：(1) ； = ； 又因为,所以D(Z)=；(2) = ()则=五、某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006，每辆参加保险的汽车每年交保险费800元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱少于200000元的概率（8分）附：标准正态分布分布函数表：0.560.570.580.590.71230.71570.71900.7224解：设某辆汽车出事故，则，设表示运输公司一年

31、内出事故的车数则 保险公司一年内共收保费，若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算，则保险公司一年赚钱小于200000元，则在这一年中出事故的车辆数超过4辆因此所求概率为 六、设总体，其中已知，是未知参数是从该总体中抽取的一个样本，求未知参数的极大似然估计量。（8分）解： 当为已知时，似然函数为因而 所以，由似然方程 ，解得，所以的极大似然估计量为。七、设随机变量与的联合密度函数为(1) 求常数 ； (2) 求的边缘密度函数； （8分）解：（1）由得到，解得（2）八、设随机变量密度函数为，求的概率密度。（8分）解：当时，当时，因此九、设某种产品的一项质量指标 ，现从一批产品中随机地抽取16件，测得该指标的均值 以检验这批产品的质量指标是否合格？ (8分). 解：设当为真时，检验统计量为，给定显著性水平，拒绝域为.代入数据得，落在拒绝域外，故接受，即质量指标合格. 十、设总体，其中，都是未知参数是从该总体中抽取的一个样本，（6分）（1）试证明为的无偏估计量。（普通班同学解答）（2）假设是已知的，试证明为的无偏估计量。（实验班同学解答）（1）因为, 所以，则，所以为的无偏估计量。(2)因为， 所以，所以 ，所以，；因此， 所以，是未知参数的无偏估计.word文档 可自由复制编辑