第3章_机械工程CAD图形学基础_1.ppt

1、第第3章章 机械工程机械工程CAD图形学基础图形学基础 机械CAD2主要内容l图形分类与图形标准l工程问题的图形建模l数字图形基本表达l三维数字几何图形数据模型l图形求交l点的运算l图形变换l图形显示l计算机图形学逆问题 机械CAD3计算机图形学是研究在计算机上对图形图像进行生成、构造、变换、显示、修改、编辑、更新和管理的科学。机械CAD4无论实际二维(2D)、三维(3D)图形多么复杂，从构成层次来讲，可归纳为点、线、面、体四个层次。二维图形无论多么复杂，其基本构成要素为线段、圆、圆弧、样条曲线和文本。三维图形从构造方法来讲，分两种：l一种是“自顶向下”的方法，实体由基本体素(标准体素prim

2、itive)经过布尔运算(交、并、差)生成，即构造实体几何法(CSG)l另一种是“自底向上”的方法，按点(point)线架(wireframe)截面(section profile)实体和曲面(solid surface)顺序构成，即边界表达方法(Brep)。机械CAD53.1 图形分类与图形标准对人类而言，“一幅图胜过万语千言”，人擅长的是形象的直观的思维(识别、判断、选择)，而计算机则本质上是一个0、1二进制机器，长处在于数值运算快、存贮量大、表达精确，便于检索。因此作为人机结合的交互式工程CAD软件，在计算机内进行的是0、1数值运算与存贮操作，而对外则必须转化为图形方式输入与输出、显示。

3、扫描仪的输入，显示器、打印机的输出是光栅点阵图形、绘图机输出的是矢量图形。机械CAD63.1.1 矢量图 机械CAD73.1.2 点阵图 机械CAD8点阵图生成、处理简单容易，但不便检索修改，存贮量大，矢量图则便于修改检索和参数化，数据库存贮量少，但处理复杂。计算机图形学研究的就是点阵图、矢量图与数值的相互关系和变换。对于工程设计师和工程分析师而言，重点是矢量图形，点阵图形主要应用于数字图像处理和艺术动画仿真制作。机械CAD93.1.3 图形标准及软件中的分类 由于设计工程师们从事的领域不同，如机械、结构、建筑、艺术、电气、液压、土木等，以及图形设备种类不同，对图形分类就千差万别，尤其在子类图

4、形分类上。为此提出了图形分类与表达的标准化问题。20世纪80年代以来，国际标准化ISO组织先后宣布了GKS、GKS3D、PHIGS、CGI、IGES、STEP图形标准。另外Autodesk公司的DXF亦成为事实上的工业图形交换标准。机械CAD10AutoCAD把图形分成以下几类来绘制:点Point线段Line圆Circle圆弧Arc多义线Pline文本Text轨迹Trace实心面Solid块Block属性Attribute尺寸Dimension阴影线图案Hatch形shape三维面3DFace三维网3DMesh规则曲面 机械CAD113.1.4 空间几何元素的定义在几何造型中，任何复杂形体都是

5、由基本几何元素构造而成的。几何造型通过对几何元素的各种变换处理和集合运算产生所需要的几何模型。因此，了解空间几何元素的定义将有助于掌握几何造型技术，进而熟练应用不同软件所提供的各种造型功能。机械CAD121.点点是几何造型中最基本的几何元素，任何几何形体都可以用有序的点的集合来表示。l控制点：又称为特征点，是用于确定曲线和曲面的位置与形状，且相应曲线或曲面不一定经过的点。机械CAD13l型值点：用于确定曲线和曲面的位置与形状，且相应曲线或曲面一定经过的点。l插值点：为提高曲线和曲面的输出精度，或为修改曲线和曲面的形状，在型值点或控制点之间插入的一系列点。机械CAD142 边边指两个相邻面或多个

6、相邻面之间的交界。对于正则形体，一条边只能有两个相邻面。边由两个端点定界，即由边的起点和终点界定。边具有方向性，其方向为由起点沿边指向其终点。机械CAD153 面 面是形体表面的一部分，由一个外环和若干个内环界定其范围。面的方向一般用外法矢方向表示，可以由外环的有向棱边按右手法则定义。机械CAD164 环环是有序、有向边组成的面的封闭边界。外环各边按逆时针方向排列，内环各边按顺时针排列。在面上任一个环的左侧总在面内，而右侧总在面外。机械CAD175 体体是由封闭表面围成的三维几何空间。通常把具有维数一致的边界所定义的形体称为正则形体(又称为流形形体)，如图所示。机械CAD18 6.外壳 外壳是

7、指在观察方向上所能看到的形体的最大外轮廓线。7.体素 体素是指能用有限个尺寸参数定位和定形的体。体素通常指一些常见的可用以组合成复杂形体的简单实体，如长方体、圆柱体、圆锥体、球体、棱柱体、圆环体等，也可以是某一轮廓线沿某条空间参数曲线作平移扫描或回转扫描运动所产生的形体。机械CAD198 定义形体的层次结构几何元素之间有两种重要的信息表示：几何信息与拓扑信息。几何信息是指物体在欧氏空间中的形状、位置和大小。拓扑信息是指拓扑元素（顶点、边和面）的数量及其相互间的连接关系。机械CAD20 形体形体形体形体(Object)(Object)外壳外壳外壳外壳(Shell)(Shell)面面面面(Face

8、)(Face)环环环环(Loop)(Loop)边边边边(Edge)(Edge)点点点点(Vertex)(Vertex)机械CAD213.2 工程问题的图形建模按处理图形方式方法不同可分为二大类：第一类为工程设计与造型。研究如何直观地交互地把客观景物（自然物、人造物）和主观世界（头脑中的设计构思）通过几何、物理建模手段在计算机中表现出来，实现异地异时的共享交流。重要思想是通过基本图形元素的层次几何构筑和表面建模，完成一个个基本单元建模（2D图元、3D体素等），再把这些基本单元通过几何变换和拓扑约束等手段在世界坐标系（全局坐标系）中按照正确的位置、方向、层次、顺序、拓扑关系集成起来并放在一定场景中

9、，构成一个完整的对象（网络图、机械建筑工程图样、装配图、布局图）。机械CAD22通过建立观察坐标系，确定观察方向、取景范围、光照、材质、纹理、贴图等信息，进行透视或平行投影变换，把该完整对象转换到观察坐标系下，进行消隐、着色、剪裁，最后生成2D设备坐标系下平面视图（整数坐标）。其后或利用人眼生理特性获得有立体感、真实感、动态感、强度感、色彩感的图形，或增添文字、尺寸等信息细节，生成3D、2D工程图，指导工程作业与生产。机械CAD23第二类是工程分析仿真和数据集可视化。研究如何把受外界条件（物体边界、载荷、约束条件）和初始条件（t=0时系统状态）限制的物理对象，通过物理建模（有限元法、动力学方法

10、），在满足物理规律前提下，建立系统物理方程，然后求解该物理方程（线性、非线性方程组，特征值与矩阵指数，时域频域变换），获得对象的物理状态信息（应力、应变、位移、速度、加速度、压强、电场强度、磁场强度、温度等），并进一步通过可视化方法，以直观的图像图形信息表示出来，以利人类（工程技术人员）的理解、判别、应用。机械CAD24该方法一般是在第一种方法所完成的几何建模基础上，增加物理状态参数的求解和可视化再现，其研究重点是实现附属在物理几何对象上的各种数据集（物理状态参数集合）的可视化表达，主流思想是单元化、分层分时段化、线性化。现在研究的热点是海量数据集可视化、并行计算和医学、卫星遥感等测量数据可视

11、化和图像重构与智能识别问题（图形学逆问题，如多幅2D视图合成一个3D图形、地形地物再现、矿藏分布、CT、MRT图像重构）。机械CAD253.3数字图形基本表达 机械CAD263.3.1 枚举占位表达对于2D图像，用像素矩阵p(x，y)表达，其中（x，y）为设备坐标，p为像素颜色或灰度值。假设p(x,y)颜色信息记录采用RGBA模式（红、绿、蓝、透明度），640*480分辨率显示器共有640*480像素点。每点采用真彩色24位，即224种色彩，则一幅图片需要存储640*480*24位。显然对存储量和显卡硬件性能要求极高，例如BMP文件。利用图像、影像的时间空间相贯性，可以研究出各种压缩算法存储量

12、，例如JPG、MPEG文件。机械CAD27 机械CAD28 机械CAD29 机械CAD30 机械CAD31这种枚举占位思想扩展到用于表达2D、3D工程实体，就是四叉树、八叉树和有限单元表达法。其共同思想就是用一个个简单的小尺度的单元的聚集来表达一个总体对象。优点是以空间换时间，以存储量增大为代价换来处理算法单一，实质是以不变的算法应付万变的世界，易于硬件实现。缺点是实时性能差，存储消耗大，变换处理和交互修改性能差，准确程度有限。现在研究的热点是图像文件大幅度压缩算法如JPG、MPEG和图像到图形重构（矢量化、参数化、3D化）。机械CAD323.3.2 边界参数表达几何图形的参数很多，大致可以分

13、为四大类。第一类是反应对象大小、形状、位置、方位的几何定形、定位参数；第二类是反应连接共面、共点关系的拓扑约束参数；第三类是反映对象颜色、线型、线宽、纹理、填充等外观参数；第四类是计算机存储管理需要的标志、尺寸、文字说明、文件指针等参数。机械CAD33采用点表、边表、面表构成的三表数据结构表达多边形平面立体是有效方法，其思想可推广到一般的曲线、曲面、曲体表达。机械CAD341.解析曲线曲面参数表达平面线段的参数方程 机械CAD35圆弧的参数方程 机械CAD36MATLABMATLAB例子：曲线绘图例子：曲线绘图t=0:pi/180:4*pi;x=sin(3*t);y=sin(4*t);plot

14、(x,y,r);title(lisaru curve example)机械CAD37MATLABMATLAB例子：曲面绘图例子：曲面绘图clear;x,y=meshgrid(-4:0.1:4);z=peaks(x,y);plot3(x,y,z);surf(x,y,z);mesh(z);contour(x,y,z,20);机械CAD382.自由曲线曲面参数表达工程应用的困难在于一些难以用参数方程形式表达的曲线、曲面，如仅仅知道一些稀疏的散列点阵曲线、曲面（三坐标测量数据集）。现有主流技术是采用插值、拟合、造型逼近等手段把它们转化为分片的三次多项式曲线、双三次曲面表达。依据这些稀疏的点列，通过插值

15、基函数、拟合基函数和造型基函数及其阶次的不同选择与组合，如1、2、3次多项式（拉格朗日、孔斯、贝齐尔、B样条、NURBS曲线）生成的曲线、曲面。机械CAD39(1)点点通过的插值样条曲线 机械CAD40Hermite 机械CAD41(2)控制顶点多边形的造型样条曲线 机械CAD42 机械CAD43 机械CAD443.3.3 过程表达枚举法、参数法适合于简单的几何图元。对于自然景物和复杂的图形图案，采用过程法表达则是有利的。因为采用参数边界法只表达了一个最终结果，而对该物体的生成（加工、装配）过程信息则没有表达，难于实现回溯和修改设计，实现与CAPP、CAM软件的集成。过程按物体生成方式不同，可

16、分为扫描过程、布尔过程、迭代递归过程，他们分别对应扫描体造型、布尔体造型和分形体造型。机械CAD451.扫描过程表达参数边界法认为点是线之边界，线是面（环）之边界，面是体之边界。从另一方面也可以认为高级图形元素是低级图形元素（母线）沿某一运动轨迹（导线）作扫描运动（直线、圆周、曲线运动）生成的，即俗话说“点动成线，线动成面，面动成体，体动成影”。机械CAD462.布尔过程表达布尔过程表达的基本思想是首先对两个基本图元进行几何变换，相互定位。然后选择进行布尔并、布尔差或布尔交操作（对应机械制造中的增料加工，减料加工和公共干涉体检查）生成布尔体。最后进行正则化处理，以消除出现非流形图元（悬点，悬线

17、，悬面）等非法情况。机械CAD47布尔过程表达的实质是把一个复杂图元分解为布尔二叉树的构造操作过程。树叶节点代表一些基本图元（区段、环与体素），树叉节点代表一种布尔选择和对应定形、定位等几何变换参数。显然布尔二叉树完整记录了从毛坯生成零件、从零件生成装配件的过程。对布尔二叉树进行剪裁和对树节点进行替换，就可生成一个不同的结果，反映了零件由粗到精的加工过程和装配体的装配过程。机械CAD48常见体素 机械CAD49体素间的并、交、差运算 机械CAD50作为布尔运算的一个特例，可以用平面或曲面将一个几何形体切开，使其分成两部分。这一过程通常称为剪切(Cut)，类似于二维系统中线段的裁剪。机械CAD5

18、1另外，在实体造型系统中进行布尔运算时，应注意两个体素间的位置情况，以避免产生非正则形体。机械CAD52扫描过程和布尔过程表达的优点是显而易见的，拓扑约束关系易于保证，存储参数少，信息完整，便于交互修改，符合人类认识规律。其缺点在于计算量大，处理实时性差，布尔操作费时。为了便于计算机图形显示和绘制，必须把隐式的二叉树CSG表达转化成显式的点线面体B-REP表达。另外由于造型过程次序可变，因此二叉树表达不是唯一的。这两种过程表达的有机统一就发展成为目前工程CAD中主流的参数化特征建模技术。机械CAD533.递归迭代过程表达递归迭代过程表达的基本思想在于把一个具有复杂细节和重复元素的工程图形和自然

19、景物转化成一个递归迭代算法表达。如CAD常用的阵列操作，对一个基本图元（图块和体素）按照一个阵列模式（矩形或圆形）循环计算，最后生成复杂的有规律的图案和形状。分形几何。1904年，Heige Von Koch研究了雪花图案。雪花周长无穷大，面积却有限！？1960s，B.B.Mandelbrot 提出 Fractal。机械CAD54 机械CAD55 机械CAD56 机械CAD573.4 三维数字几何图形数据模型在三维CAD中，要表达清楚几何形体，不仅需要顶点坐标等几何参数信息，而且需要线、面、体与点之间的拓扑约束信息。众所周知，同样的点坐标集合，给定不同的拓扑连线连面信息就构造成不同的实体或图案

20、。只有坐标信息与拓扑信息均正确无误，才能对应现实世界中真正存在的几何实体。在计算机内表达点、线、面、体之间相互存在几何拓扑关系问题，就是三维世界的数据模型问题。几何造型 机械CAD58通常把能够定义、描述、生成几何模型，并能够进行交互编辑处理的系统称为几何造型系统。按其发展历史，几何造型可分为线框造型、曲面造型和实体造型。采用几何造型技术，可以将物体的形状及其各种属性存储在计算机内，形成该物体的几何模型。这样的几何模型是对原物体确切的数学表达，或对其某种状态的真实模拟。根据几何模型提供的各种信息，可以进行有限元分析、结构分析、干涉检查、生成数控加工程序等后续应用。机械CAD593.4.1 线框

21、模型线框模型是最早采用的几何造型方式，且至今仍在广泛应用。线框模型用顶点和边表示形体，通过对点和边的修改来改变构造形体的形状，即构造模型是一个简单的线框图。与该模型相关的数学表达是直线或曲线方程、点的坐标以及边和点的连接信息。该连接信息决定哪些点分别是哪条边的端点，以及哪条边在哪个点上与其他边相邻。机械CAD60用线构造模型，就如同用铁丝做骨架来表示物体。线框模型在计算机内存储的数据结构一般有两个表：一为顶点表，记录各顶点坐标值；二为棱线表，记录每条棱线连接的两顶点。三维物体可以用它的全部顶点及边的集合来描述，线框一词由此得名。随着图形学的发展，逐步由最初的2D发展到3D。机械CAD61数据结

22、构顶点坐标值X Y Z10 0 1 21 0 131 1 140 1 150 0 068棱线顶点号11 2 22 3 33 4 44 1 50 0 612 机械CAD62优点：由于有了物体的三维数据，可以产生任意视图，视图间能保持正确的投影关系，这为生成多视图的工程图带来了很大的方便。还能生成任意视点或视向的透视图及轴侧图，这在二维绘图系统中是做不到的。构造模型时操作简便，而且数据结构简单，所占存储空间少，数据处理容易，绘图显示速度快，对硬件要求低。符合手工绘图习惯，就如同是人工绘图的自然延伸。机械CAD63缺点：因为所有棱线全都显示出来，物体的真实形状必须由人脑的解释才能理解，因此可能出现二

23、义性。此外当形状复杂时，棱线过多，也会引起模糊理解。缺少曲面轮廓（没有存储该方面的信息），不能解决面的求交，消除隐藏线和隐藏面。由于在数据结构中缺少边与面、面与体之间关系的信息，即所谓拓扑信息，因此不能构成实体，无法识别面与体，更谈不上区别体内与体外。不能进行着色和物理特性计算。因此一般用于实时仿真技术或中间结果显示上。机械CAD64 机械CAD653.4.2 表面模型表面模型（曲面模型）是用有向棱边围成的部分定义形体表面，由面的集合来定义形体。表面模型是通过对物体的各个表面进行描述而构成物体的一种建模方法。如果说线框模型是用“铁丝”构造物体的话，表面模型就是拿一张张的皮往这些“铁丝”上进行蒙

24、皮。建模时，先将复杂的表面分解成若干个面，这些面可以由基本的曲面元素构成，然后通过这些元素的拼接就构成了所需要的面。在计算机内部，表面模型的数据结构只需要在线框模型的基础上建立一个面表，即面是由哪些基本曲线构成。机械CAD66数据结构顶点坐标值X Y Z10 0 1 21 0 131 1 140 1 150 0 068棱线顶点号11 2 22 3 33 4 44 1 50 0 612表面棱线号11 2 3 4 25 6 7 8 31 9 5 12 456 机械CAD67常用的曲面有：l平面l直纹面l回转面l柱状面lBezier曲面lB样条曲面lCoons曲面l等距面 机械CAD68由于增加了面

25、的信息，能够完整地定义三维物体的表面，可以生成真实感的模型，消除隐藏线和隐藏面。实现曲面求交，数控刀具轨迹生成等。但容易在建模时漏掉某个或某些面的处理，且经常会在面与面的连接处出现重叠或间隙。此外，没有各个面之间的关系，无法区分体内和体外，无法计算质量等。机械CAD69 曲面造型系统用于构造复杂曲面，其目的主要有两个：一是从美学和外形功能要求的角度对构造模型进行评价和修改，如汽车、飞机、船舶等对外形要求较高的产品的造型设计。另外一个目的是对构造曲面生成NC加工程序，以完成对该曲面的加工。机械CAD70汽车车身造型（CATIA）机械CAD71表面加工轨迹的生成(CATIA)机械CAD723.4.

26、3 实体模型实体造型系统用于构造具有封闭空间、称为实体的几何形体。用曲面造型的最大问题是无法确定面的哪一侧存在实体，哪一侧没有实体。实体造型要解决的根本问题之一是标识出一个面的哪一侧存在实体。此外需要记录棱线与面的邻接关系。实体模型在表面模型的基础上明确定义了在表面的哪一侧存在实体，增加了给定点与形体之间的关系信息(点在形体内部、外部或在形体表面)。在实体造型系统中，可以得到所有与几何实体相关的信息，有了这些信息，应用程序就可完成各种操作，如物性计算、有限元分析、生成数控加工程序等。机械CAD73确定实体存在域的方法有：l在定义表面时，给出实体存在侧的一点l直接使用一个外法向矢量表示存在侧（法

27、向矢量指向的一侧为空，矢量指向的反方向为实体。对构成物体的每一个表面进行判断，最终即可以判断出各个表面包围的空间。）l用棱线边来隐含表示外法向矢量 机械CAD743.4.4 基于特征的造型机械产品的零部件，除了几何形状参数外，还应包括定位基准、公差、表面粗糙度、加工和装配精度及材料信息等。因此几何实体造型不能满足机械产品设计及加工的要求，应采用以几何模型为基础，包括零件设计、生产过程所需的各种信息的产品模型表达方法-特征建模。特征建模是面向整个设计、制造过程的，不仅支持CAD系统、CAPP系统、CAM系统，还要支持绘制工程图、有限元分析、数控编程、仿真模拟等多个环节。因此，必须能够完整地全面地

28、描述零件生产过程的各个环节的信息以及这些信息之间的关系。除了实体建模中的几何、拓扑信息外，还要包含特征信息、精度信息、材料信息、技术要求和其它有关信息。通常包括形状特征模型、精度特征模型、材料特征模型等。机械CAD75 特征造型以实体造型为基础，使设计者采用一些常见的、具有一定设计或加工功能的特征作为造型的基本单元来构造几何模型，称这些基本单元为特征。特征可分为形状特征、材料特征、精度特征、工艺特征等。形状特征是特征造型的基本特征，其他特征是以形状特征为载体的附加特征。形状特征是几何形体，由面、边、点等几何元素组成。在实体造型系统中，特征集合或特征图库是根据几何形体的经常性和使用程度的高低建立

29、的。机械CAD76 特征与加工是相辅相成的，由特征造型系统提供的通用特征通常带有加工特性，如倒圆、倒角、孔、槽、型腔等。这些特征可称为加工特征，因为每个特征都与一种特定的加工工艺匹配：如孔的创建意味着钻削加工，而腔体的创建则意味着铣削加工。由已有加工特征的尺寸和位置信息可自动生成加工工艺编制，即计算机辅助工艺规划(Computer Aided Process Planning，CAPP)。机械CAD77 机械CAD78特征造型实例 机械CAD793.4.5 参数化造型 常规的实体造型系统所构造的几何形体具有确定的形状与尺寸，一旦建立，即使结构相似但想改变某些形状的尺寸也只能重新构造。采用参数化

30、造型(Parametric modeling)，只要通过修改其造型参数就可以方便地改变形体的形状和尺寸。参数化造型利用几何约束和几何元素上的尺寸数据来定义和构造几何形体。机械CAD80 几何约束指几何元素间的关系，如两表面平行、两边共面、一条曲线边与相邻直线边相切等。尺寸数据不仅包括定义形状的尺寸，而且还包括这些尺寸间的关系，这些关系由设计者以数学方程的形式给出。因此，参数化造型构造几何形体是通过求解由尺寸数据及尺寸关系决定的、表示几何约束的方程来实现的，该方程定义了一组可以控制设计结果的参数，通过对其中各参数的修改可以得到不同的设计结果。机械CAD81在参数化造型中，通常按下列步骤构造一个几

31、何形体：(1)以草图(Sketch)方式输入一个大致相近的二维形体 (2)输入可交互的几何约束和尺寸数据。(3)以给定的几何约束和尺寸数据重新构造该二维形体 (4)重复步骤(2)和(3)，修改几何约束和尺寸数据，直到获得所期望的几何形体。(5)用二维形体通过平移扫描或回转扫描创建三维实体。本步骤所用的厚度值或回转角度也可成为尺寸数据，通过修改其参数，则可以很容易地修改对应的三维形体。机械CAD82 在参数化造型的过程中，几何形体的修改通过几何约束、尺寸数据以及尺寸关系来实现，而不是通过直接修改形体的几何元素来完成。因此，设计者可以生成各种设计方案而不必过多考虑形体几何元素的细节，从而将精力集中

32、于功能设计方面。近似草图近似草图近似草图近似草图最终草图最终草图最终草图最终草图 机械CAD833.4.6 实体造型的数据结构 在实体造型系统中，三维形体是通过各种造型功能构造的。随着实体的创建，与实体相关的数学描述也存储于计算机中。为了明确地表达和构造一个三维形体，在几何造型系统中,常用两种描述实体的数据结构：构造的实体几何表示法(Constructive Solid Geometry Representation)，简称CSG法；边界表示法(Boundary Representation)简称B-Rep法.机械CAD841.CSG树型结构构造实体几何法（CSG,Constructive S

33、olid Geometry）在计算机内部，是通过记录基本体素及其集合运算和几何变换进行表示的，存储的是物体生成的过程。一个物体的CSG表示是一个有序的二叉树，树的非终端节点表示各种运算（集合运算和几何变换），树的终端节点表示基本体素。无论物体多么复杂，都是由一些基本体素按照一定的顺序拼合而成。机械CAD85优点：(1)数据结构简单、紧凑，数据管理方便。(2)CSG树存储的都是正则实体。给出了实体内外区域的明确定义。(3)实体的CSG表示法随时可转换成相应的B-Rep表示法。因此，CSG树型表示可以 被用作为B-Rep编写的应用程序的接口(界面)。(4)通过改变相关体素的参数可以很容易地实现参数

34、化造型。机械CAD86缺点 (1)由于CSG树存储的是集合运算的历史，故其造型过程只采用集合运算，这使其应用范围受到了限制。一些很方便的局部修改功能，如拉伸、倒圆等不能使用。(2)由CSG树中得到边界表面、边界棱边以及这些边界实体连接关系的信息需要进行大量的运算，因此，由一个采用CSG树型结构表示的形体中提取出所需要的边界信息是一件很困难的事。基于CSG法的缺点，在实体造型中通常采用混合表示，即用CSG法实现实体的定义和输入后，将其转换成边界表示，再进行运算和显示输出。机械CAD872 边界表示数据结构边界表示法（B-Rep,Boundary Representation）的基本思想是将物体定

35、义成由封闭的边界表面围成的有限空间。一个形体可以通过它的边界即面的子集来表示。形体由面构成，面由边定义，边通过点定义，点通过坐标来定义。边界表示法强调的是形体的外表细节，详细记录了形体的所有几何和拓扑信息。通常并非所有的面、边和点的几何数据都要存储起来。运用解析几何知识，面、边和顶点的几何定义能被互相推导出来。因此数据结构中只需存储某一类几何数据就足够了，其它的几何数据在需要的时候可以推导出来。如边边求交得到顶点，面面求交得到边等。机械CAD88 机械CAD89 根据上述B-Rep表示可建立B-Rep数据结构的关系列表。关系列表由面表、边表和点表3部分组成。面表存储面名及构成该面的各边界棱边，

36、各边的排列顺序按在形体外观察形体时的逆时针方向排列。在存储每个面的同时，还存储面的哪侧存在实体这一信息，即可在面的任一侧定义一个点并规定该侧是否存在实体。边表存储边名及构成边的起点和终点。点表存储各顶点名及一个定义实体存在的位于形体内的点(V6)，以及这些点的坐标值，这些坐标通常在构造几何形体的相应坐标系下定义。机械CAD90 机械CAD91 机械CAD92优点：便于系统直接存取组成实体的各种几何元素，有利于生成和绘制线框图、投影图，生成二维工程图。显示速度快，实时性好缺点：数据存储信息量大，有冗余 有可能产生无效实体定义 机械CAD933.5 图形求交求交算法的效率与CAD软件交互响应极为相

37、关，在目标选择中，无论用window、cross、polygon、fence方式，还是图形裁剪trim、图形延展extend中，本质上就是判断线段、圆弧、椭圆、样条之间相交与否，相交于何处。机械CAD94求交算法也是3D消隐算法的核心，无论求线段、圆弧与平面的交点还是判断遮挡关系、包含关系，最后都归结于求交运算。由于矩形是由四条线构成，文字由包含矩形来代表边界，样条可由多点线段近似，椭圆可由四段圆弧近似。机械CAD953.5.1 线段与线段求交 机械CAD963.5.2 线段与圆弧(圆)求交 机械CAD97 机械CAD983.5.3 圆弧与圆弧求交 机械CAD99 机械CAD1003.5.4

38、直线与平面求交 机械CAD101 机械CAD1023.6 点的运算点的运算是工程CAD的基础与核心。点的运算本质上是坐标运算，由于CAD中广泛采用二维取点设备(Mouse、Keyboard)作为坐标输入和检取方式，亦由于其它几何实体绘制依靠点的坐标(如线点、圆心点、多边形面点列、样条曲线、曲面控制点列)变换，三维CAD也通过过滤选择、辅助工作平面等手段转化为序列二维坐标输入模式。机械CAD1033.6.1 点与点1.1.点的相对输入定位点的相对输入定位 机械CAD104 机械CAD1052.点的捕捉定位 机械CAD1063.点的坐标变换点的坐标变换有两种，一种是坐标系不动，如在同一UCS、WC

39、S中，只是点在运动。另一种是点固定，坐标系改变，如从用户坐标系UCS世界坐标系WCS规格坐标系NDCS设备坐标系DCS。这两种变换是互逆的。下面只讨论同一坐标系下点在运动，且规定逆时针角度为正，右手坐标系。机械CAD1071)点的平移变换（Move、copy）机械CAD1082)点的比例变换（Scale）沿坐标原点:机械CAD1093)点的对称变换(Mirror)绕坐标轴对称 机械CAD1104)点的旋转变换（rotate）绕X轴转动 机械CAD111绕Y轴转动 机械CAD112绕z轴转动 机械CAD1134.两点关系 机械CAD1143.6.2 点与直线1.1.点选直线点选直线 机械CAD1

40、152.2.过点与已知直线平行过点与已知直线平行 机械CAD1163.3.过点作垂线过点作垂线 机械CAD1174.4.多折线拾取多折线拾取对多折线拾取可化为依次对直线段拾取。5.5.对字符串拾取对字符串拾取对字符串检拾取可化为字符直线检取或中点、角点拾取。机械CAD1183.6.3 点与圆（弧）1.1.拾取圆（弧）拾取圆（弧）机械CAD1192.过点作圆的切线 机械CAD1203.6.4 点与矩形点裁剪点裁剪对于任意一点对于任意一点对于任意一点对于任意一点P P P P（x x x x，y y y y），），），），若满足下列两对不等式：若满足下列两对不等式：若满足下列两对不等式：若满足下列两对不等式：则点则点则点则点P P P P在矩形窗口内；否则，点在矩形窗口内；否则，点在矩形窗口内；否则，点在矩形窗口内；否则，点P P P P在矩形窗口之外。在矩形窗口之外。在矩形窗口之外。在矩形窗口之外。(xL,yB)(xR,yT)