矩形截面梁运动控制方程的建立.doc

1、 矩形截面梁运动控制方程的建立在建立控制微分方程的时候，本文主要应用了弹性力学中的能量变分原理和Reissner原理。 （1）能量变分原理弹性梁的非线性振动问题在数学上要通过积分控制方程来精确求解是相当困难的，且大多数情况下不能求得精确解。因此，人们就致力于用能量变分法或其他方法来近似求解，而避免了控制微分方程的困难。能量变分法有两种用处，一是可以用能量泛函通过变分近似求解薄板的各种边值问题，而无需建立板的控制微分方程。二是薄板的控制微分方程及边界条件可以通过那难量法来建立，特别是疑难的边界条件，如自由边的边界条件就是克希霍夫用能量法建立的。能量变分法是近似解法中最有成效的方法之一，而且，它是

2、半解析法和有限元等数值计算方法的理论基础。对于能量变分法，它的本质其实就是把求解弹性力学的基本方程的定解问题，变化成求泛函数的极大极小值（或驻值）问题。而在求解问题的近似解的时候，泛函数的极大极小值（或驻值）问题又进而变为函数的极大极小值（或驻值）问题。最后可以把问题归纳总结为求解线性代数方程组的问题。 （2）Reissner原理如果弹性体处于运动状态，则根据达朗贝尔原理，在个质点上加上惯性力后，就可以将运动问题当作静力问)题来处理。2.1 梁的理论及其应用建立并研究如下图所示的矩形截面梁，假设截面高度h和截面宽度b的尺寸都远远小于梁的长度，同时假设梁的上表面承受横向均布荷载。 图1 梁的模型

3、图则我们可以写出梁在直角坐标系下的位移场为 （2-1）式中 梁中线沿方向的位移。梁中线沿方向的位移。 梁沿方向的位移。 梁方向的位移。梁的横向扭转角，且对浅梁有。22 梁的运动控制方程的推导 2.2.1 基本方程的推导(1) 建立梁的几何方程 分析过程中考虑梁的几何非线性因素，则根据经典非线性弹性理论，梁内任一点在某一瞬时的应变可由格林应变张量来描述，其在笛卡儿坐标系中的分量形式为： （2-2）则有 （2-3） 其中 而扭率 ，对浅梁有。(2) 建立弹性体（梁）的本构关系根据经典梁理论，其在笛卡儿坐标系下的广义内力可定义为 （2-4）式中梁的轴向力；梁所承受的弯矩；梁所承受的横向剪力。则弹性体

4、（梁）的本构关系可表示为如下形式 （2-5）及 （2-6）式中 A梁的薄膜刚度； D梁的弯曲刚度；,G是梁的横向剪切刚度。且 222 Reissner变分原理及其应用(1) 弹性体（梁）运动（平衡）微分方程采用Reissner变分原理建立弹性体（梁）的运动平衡微分方程，以及相应边界条件，首先引入Reissner函数 （2-7）式中弹性体的余能密度，为沿坐标方向上每单位体积内的体积力，为沿坐标方向上每单位面积所承受的表面力，V为弹性体所占的空间，为弹性体表面上面力已被给定的那部分面积。若设梁高为，梁的质量密度为，梁在上表面承受分布荷载。将以上（2-1）、(2-3)、(2-4)、(2-5)各式代入

5、（2-7）,并对其沿高度积分后，（2-7）式右边第一项变为 （2-8）又根据达朗贝尔（Dalembert J be.R）原理，将惯性力当作分布力，而忽略质量体力，则(2-7)式第二项变为 （2-9）又令、和是已经给定的沿梁的周边所施加的外力和外力矩，则（2-7）式右边第三项变为 （2-10）根据Reissner变分原理，有，即 将（2-8）、（2-9）、（2-10）式代入上式，并结合上文的推导，可解得用应力表示的梁的运动（平衡）微分方程 （2-11）及相应的边界条件 （2-12）上式中， 、和分别为梁中面边界上的已知位移和转角。 将（2-11）中的第三式对求导，则可求出，代入（2-11）中的第

6、二式，可得出梁的横向运动控制方程 （2-13）又将几何方程（2-3）中的表达式代入本构关系（2-6）中得 （2-14）由（2-11）中的第三式有 （2-15）将（2-15）式代入（2-14）式得 （2-16）式（2-16）中，为跟踪常数，表示不考虑横向剪切变形，表示横向剪切变形被考虑。将应力表达式（2-5）代入方程（2-11）可得用位移表示的梁的运动微分方程形式 （2-17） 23 方程的无量纲参数化下面引入无量刚量，则 ， ， ， ， ，将以上各式代入（2-17）式并整理得到 （2-18） 其中：,，,，,。 现对（2-18）式进行必要的简化处理。不考虑梁的剪切变形和纵向伸长，即=0和，并令，则得到 （2-19） （2-20）将（2-19）和（2-20）式代入到（2-18）中的第二式得到梁考虑几何非线性影响的横向运动控制方程 （2-21）