全国初中数学竞赛辅导(初2)第16讲 相似三角形.doc

1、第十六讲 相似三角形(二)上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用例1 如图2-76所示ABC中，AD是BAC的平分线求证：ABAC=BDDC分析 设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件证 过B引BEAC，且与AD的延长线交于E因为AD平分BAC，所以1=2又因为BEAC，所以2=3从而1=3，AB=BE显然BDECDA，所以 BEAC=BDDC，所以 ABAC=BDDC说明 这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题

2、将在练习中出现，请同学们自己试证在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法例2 如图 2-77所示在ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分BAC，BDAE的延长线于D，且交AM延长线于F求证：EFAB分析 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明MEFMAB，从而EFAB证 过B引BGAC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H因为AE是BAC的平分线，所以BAE=CAE因为BGAC，所以CAE=G，BAE=G，所以 BA=BG又BDAG，所以ABG是等腰三角形，所以ABF=HBF，从而

3、ABBH=AFFH又M是BC边的中点，且BHAC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，所以 ABAC=AFFH因为AE是ABC中BAC的平分线，所以ABAC=BEEC，所以 AFFH=BEEC，即(AM+MF)(AM-MF)=(BM+ME)(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC)由合分比定理，上式变为AMMB=FMME在MEF与MAB中，EMF=AMB，所以MEFMAB(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)所以ABM=FEM，所以 EFAB例3 如图2-78所示在ABC中，ABC=124 即可，为此若能设法利用长度分别为AB，

4、BC，CA及l=ABAC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决注意到，原ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与ABC相似，期望能解决问题证 延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=ABAC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED下面证明，ADEABC设A=，B=2，C=4，则A+B+C=7=180由作图知，ACB是等腰三角形ACE的外角，所以ACE=180-43，所以 CAE=180-3-3=7-6=从而EAB=2EBA，AEBE又由作图AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，BDE是等腰三角形，所以DBEDCAB，所以

5、 ABCDAE，所以例4 如图2-79所示P，Q分别是正方形ABCD的边AB， BC上的点，且BP=BQ，BHPC于H求证：QHDH.分析 要证QHDH，只要证明BHQ=CHD由于PBC是直角三角形，且BHPC，熟知PBH=PCB，从而HBQ=HCD，因而BHQ与DHC应该相似证 在RtPBC中，因为BHPC，所以PBC=PHB=90，从而 PBH=PCB显然，RtPBCRtBHC，所以由已知，BP=BQ，BC=DC，所以因为ABC=BCD=90，所以HBQ=HCD，所以 HBQHCD，BHQ=DHC，BHQQHC=DHCQHC又因为BHQQHC=90，所以 QHD=QHCDHC=90，即 D

6、HHQ例5 如图2-80所示P，Q分别是RtABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PMQM求证：PB2QC2=PM2QM2分析与证明 若作MDAB于D，MEAC于E，并连接PQ，则PM2QM2=PQ2=AP2AQ2于是求证式等价于PB2+QC2=PA2+QA2， 等价于PB2-PA2=QA2-QC2 因为M是BC中点，且MDAC，MEAB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有AD=BD，AE=CE，等价于(ADPD)2-(AD-PD)2=(AEEQ)2-(AE-EQ)2， 等价于ADPD=AEEQ 因为ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故等价于MEPD=MDEQ 为

7、此，只要证明MPDMEQ即可下面我们来证明这一点事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可由于ADME为矩形，所以DME=90=PMQ(已知) 在的两边都减去一个公共角PME，所得差角相等，即PMD=QME 由，所以MPDMEQ由此成立，自逆上，步步均可逆推，从而成立，则原命题获证例6 如图2-81所示ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米求：FM，MN，BN的长解 取AF的中点G，连接DF，EG由平行线等分线段定理的逆定理知DFEGBA，所以CFDCAB，MFDMBA 所以MB=3MF，从而BF=4FM=12，所以FM=3(厘米)又

8、在BDF中，E是BD的中点，且EHDF，所以因为EHAB，所以NEHNAB，从而显然，H是BF的中点，所以故所求的三条线段长分别为练习十六1如图2-82所示在ABC中，AD是BAC的外角CAE的平分线求证：ABAC=BDDC2如图2-83所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求证：EFBC3如图2-84所示在ABC内有一点P，满足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求证：PB2PAPC(提示：设法证明PABPBC)4如图2-85所示D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点，E在斜边AB上，且AEEB=21求证：CEAD5如图2-86所示RtABC中，A=90，ADBC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EFBC于F求证：EF2=AEEC6在ABC中，E，F是BC边上的两个三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分别与BM交于D，G求：BDDGGM