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高中物理相遇和追击问题.doc

1、相遇和追及问题分析1.相遇和追及问题的实质:研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。2.画出物体运动的情景图,理清三大关系(1)时间关系:(2)位移关系:(3)速度关系:两者速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。3.两种典型追及问题 (1)速度大者(匀减速)追速度小者(匀速)当v1=v2时,A末追上B,则A、B永不相遇,此时两者间有最小距离;当v1=v2时,A恰好追上B,则A、B相遇一次,也是避免相撞刚好追上的临界条件;当v1v2时,A已追上B,则A、B相遇两次,且之后当两者速度相等时,两者间有最大距离。(2)同地出发,速度小者

2、(初速度为零的匀加速)追速度大者(匀速) 当 v1=v2 时,A、B距离最大;当两者位移相等时,有 v1=2v2且A追上B。A追上B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。4.相遇和追及问题的常用解题方法:画出两个物体运动示意图,分析两个物体的运动性质,找出临界状态,确定它们位移、时间、速度三大关系。 1)基本公式法根据运动学公式,把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解2)图像法正确画出运动的v-t图像,根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解3)相对运动法巧妙选择参考系,简化运动过程、临界状态,根据运动学公式列式求解4)数学方法根据运动学公式列出数学关系式(要有实际物

3、理意义)利用二次函数的求根公式中判别式求解。5.追及和相遇问题的求解步骤两个物体在同一直线上运动,往往涉及追及,相遇或避免碰撞等问题,解答此类问题的关键条件是:两物体能否同时达到空间某位置。基本思路是:分别对两物体进行研究;画出运动过程示意图;列出位移方程找出时间关系,速度关系 解出结果,必要时进行讨论。(1)追及问题:追和被追的两物体的速度相等(同向运动)是能否追上及两者距离有极值的临界条件。 第一类:速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀减速直线运动) 当两者速度相等时,追者位移追者位移仍小于被追者位移,则永远追不上,此时两者之间有最小距离。 若两者位移相等,且两者速度相等时,则

4、恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。 若两者位移相等时,追着速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,当速度相等时两者之间距离有一个最大值。在具体求解时,可以利用速度相等这一条件求解,也可以利用二次函数的知识求解,还可以利用图象等求解。第二类:速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(匀速直线运动)。 当两者速度相等时有最大距离当两者位移相等时,则追上具体的求解方法与第一类相似,即利用速度相等进行分析还可利用二次函数图象和图象图象。(2)相遇问题 同向运动的两物体追及即相遇相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时相遇6.分析追及,相遇问题

5、时要注意(1)分析问题是,一个条件,两个关系。一个条件是:两物体速度相等时满足的临界条件,如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。两个关系是:时间关系和位移关系。时间关系是指两物体运动时间是否相等,两物体是同时运动还是一先一后等;而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等,其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口,因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯,对帮助我们理解题意,启迪思维大有好处。(2)若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意,追上前该物体是否已停止运动。仔细审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖出题目中的隐含条件,如“刚好”,“恰巧”,最多“,”至少

6、“等。往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。7.追及问题的六种常见情形(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体:这种情况定能追上,且只能相遇一次;两者之间在追上前有最大距离,其条件是V加 = V匀(2)匀减速直线运动追匀速直线运动物体:当V减 = V匀时两者仍没到达同一位置,则不能追上;当V减 = V匀时两者正在同一位置,则恰能追上,也是两者避免相撞的临界条件;当两者到达同一位置且V减 V匀时,则有两次相遇的机会。(3)匀速直线运动追匀加速直线运动物体:当两者到达同一位置前,就有V加 = V匀,则不能追上;当两者到大同位置时V加 = V匀,则只能相遇一次;当两者到大同一位置时V加 V

7、匀则有两次相遇的机会。(4)匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体:此种情况一定能追上。(5)匀加速直线运动的物体追匀减速直线运动的物体:此种情况一定能追上。(6)匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体:当两者在到达同一位置前V减 = V加,则不能追上;当V减 = V加时两者恰到达同一位置,则只能相遇一次;当地一次相遇时V减 V加,则有两次相遇机会。(当然,追及问题还有其他形式,如匀加速追匀加速,匀减速追匀减速等,请同学们独立思考)。8.典型例题例1.A火车以v1=20m/s速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶,A车立即做加速度大小为a的

8、匀减速直线运动。要使两车不相撞,a应满足什么条件?解1:(公式法)两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由A、B 速度关系: 由A、B位移关系: 解2:(图像法)在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线,根据图像面积的物理意义,两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差,当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100. 物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。 (由于不涉及时间,所以选用速度位移公式。 )解3:(相对运动法)以B车为参照物, A车的初速度为v0=10m/s,以加速度大小a减速,行驶x=100

9、m后“停下”,末速度为vt=0。 备注:以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。解4:(二次函数极值法)若两车不相撞,其位移关系应为代入数据得:其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有 把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。 例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少? 解1:(公式法)当汽车的速度与自行车的速度相等时,两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则

10、 解2:(图像法)在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像,根据图像面积的物理意义,两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差,当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 v-t图像的斜率表示物体的加速度 当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积 动态分析随着时间的推移,矩形面积(自行车的位移)与三角形面积(汽车的位移)的差的变化规律.解3:(相对运动法)选自行车为参照物,以汽车相对地面的运动方向为正方向,汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v0=-6m/s,a=3m/s2,两车相距最远时vt=0 对汽车由公式(由于不涉及位移,所以选用速度公式)对汽车由公式 : (由于不涉及“时

11、间”,所以选用速度位移公式。 )表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.解4:(二次函数极值法)设经过时间t汽车和自行车之间的距离x,则,思考:汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大? 例3.一小圆盘静止在桌布上,位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合,如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为1,盘与桌面间的动摩擦因数为2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面,加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下,则加速度a满足的条件是什么?(以g表示重力加速度) 解:设圆盘的质量为m,桌长为l,在桌布从圆盘上抽出的过程

12、中,盘的加速度为a1,有 桌布抽出后,盘在桌面上作匀减速运动,以a2表示加速度的大小,有 设盘刚离开桌布时的速度为v1,移动的距离为x1,离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下,有 盘没有从桌面上掉下的条件是 设桌布从盘下抽出所经历时间为t,在这段时间内桌布移动的距离为x,有 而 由以上各式解得 :例4.一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以a3 m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以v06 m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车,试问:(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?最远距离是多大?(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大?解析:法一:用

13、临界条件求解(1)当汽车的速度为v6 m/s时,二者相距最远,所用时间为t2 s,最远距离为sv0tat26 m.(2)两车距离最近时有v0tat2 解得t4 s 汽车的速度为vat12 m/s.法二:用图象法求解(1)汽车和自行车的vt图象如图所示,由图象可得t2 s时,二者相距最远最远距离等于图中阴影部分的面积,即s62 m6 m.(2)两车距离最近时,即两个vt图线下方面积相等时,由图象得此时汽车的速度为v12 m/s.法三:用数学方法求解(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为sv0tat2因二次项系数小于零,当t2 s时有最大值,最大值smv0tat262 m322 m6 m. (2)

14、当sv0tat20时相遇得t4 s,汽车的速度为vat12 m/s.分析追及、相遇问题的常用方法1)物理分析法:抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景2)相对运动法:巧妙地选取参考系,然后找两物体的运动关系3)极值法:设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若0,即有两个解,说明可以相遇两次;若0,说明刚好追上或相遇;若0,说明追不上或不能相碰4)图象法:将两者的速度时间图象在同一坐标系中画出,然后利用图象求解. 一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申sAs0A、B两列火车在同一轨道上

15、同向行驶,A在前,速度为vA10m/s,B在后,速度为vB30m/s,因大雾能见度低,B车在距A车500m时,才发现前方有A车,这时B车立即刹车,但要经过1800mB车才能停下,问:(1)车若要仍按原速前进,两车是否相撞?试说明理由。(2)B在刹车的同时发出信号,A车司机在收到信号1.5s后加速前进,A车加速度为多大时,才能避免事故发生?(不计信号从A传到B的时间)第一问的解法如下:l解:先求B车从刹车到停下来所需时间tB sB由sB =vBtB得 tB= =2s=120s再求在相同的时间内A车通过的位移sA, sA=vAtB=10120m=1200m最后比较sA+s0和sB的大小关系即可判断

16、结果.由于sA+s0=(1200+500)m=1700m故sA+s0sB由位置关系图可知两车会相撞。提问1:通过上面的计算我们知道两车能相撞,试问它们何时相撞?解:设B车刹车后经过时间t两车相遇,依题意有sA+s0=sB而sA=vAt,sB=vBt+at2(其中a为B车刹车过程中的加速度,根据已知条件很易求出a-0.25m/s2),将sA、sB的表达式代入上式解得t1=31s,t2=129s提问2:为什么有两个解?t2是否有意义?答:A、B两车相撞两次,第一次是B车追上A车,第二次是A车追上B车。两车只能相撞一次,故t2没有意义。提问3:B车追上A车时,哪车的速度大?答:B车的速度大, 因为B

17、车从减速到和A车的速度相等所需的时间为:t= =s=80s,因为t t1,故B车的速度大。提问4:若A、B两车相遇但不会相撞,A车又追上B车时,B车的速度是多大?从B车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间?答:由于B车刹车后经过120s后就停下来,故129s时它的速度仍为零。由于B车停止后不能往后倒,故第二次相遇所需时间为:t2= =s=130s。这是一个实际问题,要注意解的合理性。提问5:若开始两车相距700m,试问两车是否会相撞?答:由于sA+s0=1200+700m=1900m,而sB=1800m,即sA+s0sB,故两车不会相撞。提问6:若用第二种方法,即设B刹车后经过时间t两车相撞,

18、方程是否有解呢?答:由sA+s0=sB得 vAt+ s0=vBt+at2即10t+700=30t-0.125t2移项并整理得 t2-160t+5600=0 该方程的判别式为=1602-45600=32000,故该方程有解,即相撞,并且有相遇两次的可能。原来先是B超过A,后来A又超过B,我们不能认为开始时A在B的前面,后来A仍在B的前面,就得出两车不相撞的结论。由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。提问7:试问:若要使两车不相撞,开始时两车间的距离s0至少为多少?解:设两车经过时间t后相撞,由位置关系易得出:vAt+ s0=vBt +at2即10t+s0=30t-0.125t2移项并整理得

19、t2-160t+8s0=0 要使两车不相撞,即要使该方程无解,即即1602-48s00故s0800m,即开始时两车间的距离至少为800m。提问8:若两车刚好能相撞,相撞时两车的速度有何关系?答:应该刚好相等,刚开始时B车的速度比A车的速度大,两车之间的距离减小,当两车的速度达到相等时,距离最小,之后两车之间的距离将变大,若速度相等时还没有相遇,则两车不会再相遇。若s0=800m时,解得t=80s,此时B车的速度为v B =v B +at=30+(-025)80m/s=10m/s=v A。规律总结:求追及、相遇或相撞问题时,若问两物体能否相撞,一般是设经过时间t后两物体相撞,根据位移关系列出方程

20、,它一般是关于t的二次方程,然后根据判别式的正、负或零来判断,若,则二者能相撞,若,则不能相撞;若问二者何时相撞,解法同上,但要注意解是否合理,是否是实际问题;若问能相遇几次,解出相遇所需的时间,有几个解,就能相遇几次,同样要注意解是否合理;若求两者之间的最大或最小距离,通常求出两物体速度达到相等时各自的位移,两位移之差即为两物体之间的最大或最小距离;也可设经过时间t后两者相距S,根据位置关系写出S的表达式,然后根据二次函数求极值的方法可以求出(一般用配方的方法来求)。这样,该题第二问的解法很易得出:设B车刹车后经过ts两车刚好相撞,则应有:s B= s A+s0即v Bt+a B t2=v

21、A t0+ v A(t-t0)+ a A (t-t0)2+s0 ,30t-t2=15+10(t-1.5)+ a A (t-1.5)2+500刚好相撞,则=0,解得a A =0.16m/s29.总结一.物理模型:同一直线,同向(反向)运动。二.时间关系 1.同时出发,在俩者运动中追及,。 2.同时出发,在一个运动中,一个静止追及,。 3.根据物体运动的特点,核对其运动的时间:确定有无运动的多过程问题。三.出发地点关系 1.同地追及,同一地点出发,最后追及相遇 2.异地追及,不在同一地点,最后追及相遇四.位移关系:A为汽车B为自行车,俩物体的相距,追上时A走过的位移, B走过的位移,。五.追及过程

22、的距离极值问题: 在追及过程中,当,A,B俩物体之间达到距离的极值,可能为最大或最小,具体问题具体分析。六.追及过程中的恰好不相碰问题 1.追上的瞬间位移关系: 2.追上的瞬间速度关系:七.追上的瞬间比较加速度,分析二次追及问题1.追上的瞬间位移关系:2.追上的瞬间速度关系:, 3.追上时的加速度关系:八.讨论有无二次追及的可能: 已知A,B俩物体相距,A追及B,讨论追及可能发生的相关问题。1.当A的瞬时速度与B的瞬时速度相等时,即=,A的位移为,B的位移为,则2.讨论与的关系,九.会使用图像法解决追及相遇问题1.找到=相等的时刻2.比较面积发现的关系3.根据斜率比较加速度的关系4.确定解题方

23、法十.追及问题的解题步骤1.分析两物体运动过程及规律,画出两物体运动的示意图2.核实运动的时间关系,以及出发的地点关系3.要注意两点,一是速度相等两者的位置关系,二是位置相同(即相遇)时两者的速度关系,及加速度关4.由运动示意图找出两物体位移间关系的方程,或画出运动图像,这是关键5.联立方程求解,并对结果进行简单分析关于图象问题1.直线运动的s-t图象(1)意义:反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率大小:表示物体速度的大小斜率的正负:表示物体速度的方向(3)两种特殊的s-t图象若s-t图象是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于静止状态(如图甲所示)若s-

24、t图象是一条倾斜的直线,说明物体在做匀速直线运动(如图乙所示)2.直线运动的v-t图象(1)意义:反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率的大小:表示物体加速度的大小斜率的正负:表示物体加速度的方向(3)两种特殊的v-t图象匀速直线运动的v-t图象是与横轴平行的直线(如图甲所示)匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线(如图乙所示)(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为正;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为负温馨提示:(1)s-t图象、v-t图象都不是物体运动的轨迹,图象中各点的坐标值是s、v与t一一对应(2)s-t图象、v-t图象的形状由s与t、v与t的函数关系决定(3)无论是s-t图象还是v-t图象,所描述的运动情况都是直线运动3.运动学图象“五看”一看“线”二看“斜率”三看“面积”四看“纵截距”五8

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