高中物理相遇和追击问题.doc

1、相遇和追及问题分析1.相遇和追及问题的实质:研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。2.画出物体运动的情景图，理清三大关系（1）时间关系：（2）位移关系：（3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。3.两种典型追及问题 （1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）当v1=v2时，A末追上B，则A、B永不相遇，此时两者间有最小距离；当v1=v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；当v1v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。（2）同地出发，速度小者

2、（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速） 当 v1=v2 时，A、B距离最大；当两者位移相等时,有 v1=2v2且A追上B。A追上B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。4.相遇和追及问题的常用解题方法:画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。 1)基本公式法根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解2)图像法正确画出运动的v-t图像,根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解3)相对运动法巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解4)数学方法根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物

3、理意义）利用二次函数的求根公式中判别式求解。5.追及和相遇问题的求解步骤两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时达到空间某位置。基本思路是：分别对两物体进行研究；画出运动过程示意图；列出位移方程找出时间关系，速度关系 解出结果，必要时进行讨论。(1)追及问题：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。 第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀减速直线运动） 当两者速度相等时,追者位移追者位移仍小于被追者位移,则永远追不上,此时两者之间有最小距离。 若两者位移相等,且两者速度相等时,则

4、恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。 若两者位移相等时,追着速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,当速度相等时两者之间距离有一个最大值。在具体求解时,可以利用速度相等这一条件求解,也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等求解。第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动）。 当两者速度相等时有最大距离当两者位移相等时，则追上具体的求解方法与第一类相似，即利用速度相等进行分析还可利用二次函数图象和图象图象。(2)相遇问题 同向运动的两物体追及即相遇相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时相遇6.分析追及，相遇问题

5、时要注意(1)分析问题是，一个条件，两个关系。一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。两个关系是：时间关系和位移关系。时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。(2)若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动。仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好”，“恰巧”，最多“，”至少

6、“等。往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。7.追及问题的六种常见情形(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体：这种情况定能追上，且只能相遇一次；两者之间在追上前有最大距离，其条件是V加 = V匀(2)匀减速直线运动追匀速直线运动物体：当V减 = V匀时两者仍没到达同一位置，则不能追上；当V减 = V匀时两者正在同一位置，则恰能追上，也是两者避免相撞的临界条件；当两者到达同一位置且V减 V匀时，则有两次相遇的机会。(3)匀速直线运动追匀加速直线运动物体：当两者到达同一位置前，就有V加 = V匀，则不能追上；当两者到大同位置时V加 = V匀，则只能相遇一次；当两者到大同一位置时V加 V

7、匀则有两次相遇的机会。(4)匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体：此种情况一定能追上。(5)匀加速直线运动的物体追匀减速直线运动的物体：此种情况一定能追上。(6)匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体：当两者在到达同一位置前V减 = V加，则不能追上；当V减 = V加时两者恰到达同一位置，则只能相遇一次；当地一次相遇时V减 V加，则有两次相遇机会。（当然，追及问题还有其他形式，如匀加速追匀加速，匀减速追匀减速等，请同学们独立思考）。8.典型例题例1.A火车以v1=20m/s速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的

8、匀减速直线运动。要使两车不相撞,a应满足什么条件？解1：（公式法）两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由A、B 速度关系： 由A、B位移关系： 解2：（图像法）在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100. 物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。 （由于不涉及时间，所以选用速度位移公式。 ）解3：（相对运动法）以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100

9、m后“停下”，末速度为vt=0。 备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。解4：（二次函数极值法）若两车不相撞，其位移关系应为代入数据得：其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有 把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。 例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解1：（公式法）当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则

10、 解2：（图像法）在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 v-t图像的斜率表示物体的加速度 当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积 动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律.解3：（相对运动法）选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v0=-6m/s，a=3m/s2，两车相距最远时vt=0 对汽车由公式（由于不涉及位移，所以选用速度公式）对汽车由公式 ： （由于不涉及“时

11、间”，所以选用速度位移公式。 ）表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.解4：（二次函数极值法）设经过时间t汽车和自行车之间的距离x，则，思考：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？ 例3.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为1，盘与桌面间的动摩擦因数为2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？(以g表示重力加速度) 解：设圆盘的质量为m，桌长为l，在桌布从圆盘上抽出的过程

12、中，盘的加速度为a1，有 桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有 设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下，有 盘没有从桌面上掉下的条件是 设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有 而 由以上各式解得 ：例4.一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v06 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？解析：法一：用

13、临界条件求解(1)当汽车的速度为v6 m/s时,二者相距最远，所用时间为t2 s,最远距离为sv0tat26 m.(2)两车距离最近时有v0tat2 解得t4 s 汽车的速度为vat12 m/s.法二:用图象法求解(1)汽车和自行车的vt图象如图所示，由图象可得t2 s时，二者相距最远最远距离等于图中阴影部分的面积，即s62 m6 m.(2)两车距离最近时，即两个vt图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v12 m/s.法三:用数学方法求解(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为sv0tat2因二次项系数小于零，当t2 s时有最大值，最大值smv0tat262 m322 m6 m. (2)

14、当sv0tat20时相遇得t4 s，汽车的速度为vat12 m/s.分析追及、相遇问题的常用方法1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景2)相对运动法：巧妙地选取参考系,然后找两物体的运动关系3)极值法：设相遇时间为t,根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论,若0，即有两个解，说明可以相遇两次；若0，说明刚好追上或相遇；若0,说明追不上或不能相碰4)图象法：将两者的速度时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解. 一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申sAs0A、B两列火车在同一轨道上

15、同向行驶，A在前，速度为vA10m/s，B在后，速度为vB30m/s，因大雾能见度低，B车在距A车500m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1800mB车才能停下，问：(1)车若要仍按原速前进，两车是否相撞？试说明理由。(2)B在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号1.5s后加速前进，A车加速度为多大时，才能避免事故发生？（不计信号从A传到B的时间）第一问的解法如下：l解：先求B车从刹车到停下来所需时间tB sB由sB =vBtB得 tB= =2s=120s再求在相同的时间内A车通过的位移sA, sA=vAtB=10120m=1200m最后比较sA+s0和sB的大小关系即可判断

16、结果.由于sA+s0=(1200+500)m=1700m故sA+s0sB由位置关系图可知两车会相撞。提问1：通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？解：设B车刹车后经过时间t两车相遇，依题意有sA+s0=sB而sA=vAt，sB=vBt+at2（其中a为B车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出a-0.25m/s2），将sA、sB的表达式代入上式解得t1=31s，t2=129s提问2：为什么有两个解？t2是否有意义？答：A、B两车相撞两次，第一次是B车追上A车，第二次是A车追上B车。两车只能相撞一次，故t2没有意义。提问3：B车追上A车时，哪车的速度大？答：B车的速度大， 因为B

17、车从减速到和A车的速度相等所需的时间为：t= =s=80s，因为t t1，故B车的速度大。提问4：若A、B两车相遇但不会相撞，A车又追上B车时，B车的速度是多大？从B车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间？答：由于B车刹车后经过120s后就停下来，故129s时它的速度仍为零。由于B车停止后不能往后倒，故第二次相遇所需时间为：t2= =s=130s。这是一个实际问题，要注意解的合理性。提问5：若开始两车相距700m，试问两车是否会相撞？答：由于sA+s0=1200+700m=1900m，而sB=1800m，即sA+s0sB，故两车不会相撞。提问6：若用第二种方法，即设B刹车后经过时间t两车相撞，

18、方程是否有解呢？答：由sA+s0=sB得 vAt+ s0=vBt+at2即10t+700=30t-0.125t2移项并整理得 t2-160t+5600=0 该方程的判别式为=1602-45600=32000，故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。原来先是B超过A，后来A又超过B，我们不能认为开始时A在B的前面，后来A仍在B的前面，就得出两车不相撞的结论。由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。提问7：试问：若要使两车不相撞，开始时两车间的距离s0至少为多少？解：设两车经过时间t后相撞，由位置关系易得出：vAt+ s0=vBt +at2即10t+s0=30t-0.125t2移项并整理得

19、t2-160t+8s0=0 要使两车不相撞，即要使该方程无解，即即1602-48s00故s0800m，即开始时两车间的距离至少为800m。提问8：若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？答：应该刚好相等，刚开始时B车的速度比A车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到相等时，距离最小，之后两车之间的距离将变大，若速度相等时还没有相遇，则两车不会再相遇。若s0=800m时，解得t=80s，此时B车的速度为v B =v B +at=30+(-025)80m/s=10m/s=v A。规律总结：求追及、相遇或相撞问题时，若问两物体能否相撞，一般是设经过时间t后两物体相撞，根据位移关系列出方程

20、，它一般是关于t的二次方程，然后根据判别式的正、负或零来判断，若，则二者能相撞，若，则不能相撞；若问二者何时相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是实际问题；若问能相遇几次，解出相遇所需的时间，有几个解，就能相遇几次，同样要注意解是否合理；若求两者之间的最大或最小距离，通常求出两物体速度达到相等时各自的位移，两位移之差即为两物体之间的最大或最小距离；也可设经过时间t后两者相距S，根据位置关系写出S的表达式，然后根据二次函数求极值的方法可以求出（一般用配方的方法来求）。这样，该题第二问的解法很易得出：设B车刹车后经过ts两车刚好相撞，则应有：s B= s A+s0即v Bt+a B t2=v

21、A t0+ v A(t-t0)+ a A (t-t0)2+s0 ，30t-t2=15+10(t-1.5)+ a A (t-1.5)2+500刚好相撞，则=0，解得a A =0.16m/s29.总结一.物理模型：同一直线，同向（反向）运动。二.时间关系 1.同时出发，在俩者运动中追及，。 2.同时出发，在一个运动中，一个静止追及，。 3.根据物体运动的特点，核对其运动的时间：确定有无运动的多过程问题。三.出发地点关系 1.同地追及，同一地点出发，最后追及相遇 2.异地追及，不在同一地点，最后追及相遇四.位移关系：A为汽车B为自行车，俩物体的相距，追上时A走过的位移， B走过的位移，。五.追及过程

22、的距离极值问题： 在追及过程中，当，A，B俩物体之间达到距离的极值，可能为最大或最小，具体问题具体分析。六.追及过程中的恰好不相碰问题 1.追上的瞬间位移关系： 2.追上的瞬间速度关系：七.追上的瞬间比较加速度，分析二次追及问题1.追上的瞬间位移关系：2.追上的瞬间速度关系：， 3.追上时的加速度关系：八.讨论有无二次追及的可能: 已知A，B俩物体相距，A追及B，讨论追及可能发生的相关问题。1.当A的瞬时速度与B的瞬时速度相等时，即=，A的位移为，B的位移为，则2.讨论与的关系，九.会使用图像法解决追及相遇问题1.找到=相等的时刻2.比较面积发现的关系3.根据斜率比较加速度的关系4.确定解题方

23、法十.追及问题的解题步骤1.分析两物体运动过程及规律，画出两物体运动的示意图2.核实运动的时间关系，以及出发的地点关系3.要注意两点，一是速度相等两者的位置关系,二是位置相同（即相遇）时两者的速度关系,及加速度关4.由运动示意图找出两物体位移间关系的方程，或画出运动图像，这是关键5.联立方程求解，并对结果进行简单分析关于图象问题1.直线运动的s-t图象(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率大小：表示物体速度的大小斜率的正负：表示物体速度的方向(3)两种特殊的s-t图象若s-t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态(如图甲所示)若s-

24、t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动(如图乙所示)2.直线运动的v-t图象(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率的大小：表示物体加速度的大小斜率的正负：表示物体加速度的方向(3)两种特殊的v-t图象匀速直线运动的v-t图象是与横轴平行的直线(如图甲所示)匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线(如图乙所示)(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负温馨提示：(1)s-t图象、v-t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值是s、v与t一一对应(2)s-t图象、v-t图象的形状由s与t、v与t的函数关系决定(3)无论是s-t图象还是v-t图象，所描述的运动情况都是直线运动3.运动学图象“五看”一看“线”二看“斜率”三看“面积”四看“纵截距”五8