二级倒立摆系统的最优控制.ppt

1、二级倒立摆系统的最优控制二级倒立摆系统的最优控制一、二级倒立摆介绍一、二级倒立摆介绍：二级倒立摆系统如下图所示，它由上摆、下摆和在轨道上运动的小车组成，可以看出，这是个不稳定的系统，若不加以控制，双摆将会自动倒下。图中S为小车偏移平衡位置的位移；为下摆质心至轴心的距离（m）；为上摆质心至轴心的距离(m)。二、系统建模二、系统建模（1）小车系统：）小车系统：动能为：动能为：势能为：势能为：损失能为损失能为（2）下摆：）下摆：动能为：动能为：势能为：势能为：损失能为：损失能为：（3）上摆）上摆:动能为：动能为：势能为：势能为：损失能为：损失能为：定义拉格朗日函数为整理得如下结果：在平衡点处进行线性

2、化处理之后得 三、列出状态空间方程三、列出状态空间方程定义状态向量定义状态向量所以，二级倒立摆的状态方程和输出方程为所以，二级倒立摆的状态方程和输出方程为式中式中四、最优控制方案及控制器设计四、最优控制方案及控制器设计控制目标控制目标：在经受一定的外加干扰条件下，使倒立摆在不稳定的平衡点附近做平稳运动，控制上下摆角角度和小车的位置在各自的位置零点附近变化。根据倒立摆状态空间方程，设反馈控制律为U(t)=-Kx(t),通过是性能指标取最小，可得 式中，P有黎卡提方案获得，即式中Q为状态变量的加权矩阵，R为输入加权矩阵。线性最优反馈控制系统的结构图如下图所示：五、仿真分析五、仿真分析将某二级倒立摆

3、系统模型各参数代入式1-8，得出系数矩阵 设,多次调整参数后，取R=1,=100,=10,=5000,写出Matlab程序如下：vA=0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;v0,-2.57163,0.164291,-16.6674,0.0124145,0.005;v0,29.9499,-15.1957,40.3167,-0.204856,0.17380;v0,29.9499,65.4455,-49.3949,0.463474,-0.59148;vB=0;0;0;8.64636;-20.9146;25.9146;vC=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0

4、0;0 0 1 0 0 0;D=0;0;0;v%求开环特征值vr1=eig(A)v%加入最优反馈器vq1=100;q2=10;q3=5000;q4=0;q5=0;q6=0;vQ=q1 0 0 0 0 0;0 q2 0 0 0 0;0 0 q3 0 0 0;0 0 0 q4 0 0;0 0 0 0 q5 0;0 0 0 0 0 q6;R=1;v%求最优增益矩阵、黎卡提方程的解、闭环特征值vK,P,r2=lqr(A,B,Q,R)vAc=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;vT=0:0.02:20;U=zeros(size(T);vx0=0;-0.05;0.1;0;0;0;vY,X=lsi

5、m(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0);v%绘制下摆偏离垂直方向的角度变化曲线vfigure(1);plot(T,Y(:,1);vxlabel(Time/sec);ylabel(01/rad);grid;v%绘制上下摆角度之差的曲线vfigure(2);plot(T,Y(:,2);vxlabel(Time/sec);ylabel(02-01/rad);grid;v%绘制小车位移曲线vfigure(3);plot(T,Y(:,3)vxlabel(Time/sec);ylabel(x(小车)/m);grid;v执行上述程序，得到如下结果和图3，图4，图5vr1=v 0 v 6.5927+1.0

6、114iv 6.5927-1.0114iv-17.1548 v -6.7472+0.5315iv -6.7472-0.5315ivK=v 1.0e+003*v 0.0100 -1.4261 -1.0921 -0.0004 -0.1949 -0.1547vP=v 1.0e+005*v 0.0014 -0.0190 -0.0164 0.0008 -0.0025 -0.0022v -0.0190 1.3728 1.1307 -0.0117 0.1855 0.1531v -0.0164 1.1307 0.9338 -0.0103 0.1527 0.1262v 0.0008 -0.0117 -0.010

7、3 0.0007 -0.0015 -0.0014v -0.0025 0.1855 0.1527 -0.0015 0.0251 0.0207v -0.0022 0.1531 0.1262 -0.0014 0.0207 0.0171vr2=v-31.7966+28.8170iv-31.7966-28.8170iv -0.9915+0.9160iv -0.9915-0.9160iv -7.3833 v -7.3242 下摆偏离垂直方向的角度变化曲线 上下摆角度之差的曲线 小车位移曲线 六、设计小结六、设计小结 由运行的结果可以看出，当为采用最佳反馈时，开环系统有3个特征值分布在S平面右半部，因此系统不稳定。加入最优反馈器后，闭环系统的6个特征值均分布在S平面的左半部，系统稳定。当在小车上施加外力后，由图仿真图所示的阶跃响应曲线可以看出系统调节时间段、性能良好，说明对控制器的设计是成功的。