常微分方程第三章测试试卷.doc

1、常微分方程第三章测试试卷(2)班级_姓名_学号_成绩_一、 填空题 （24分）1、 设是方程是方程的定义于区间上的解，问它满足初始条件的解的充要条件是_。2、 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则称函数_，称为_。3、 设是积分方程的定义于区间上的一个连续解，则有与的关系是_。 4、 若函数以及都在区域内连续，则方程的解作为的函数在它的存在范围内是_。5、 若方程的右端为的多项式且在系数 连续，有界的区域内，方程没有奇解，从而说明_和_均无奇解。6、 对于克来洛方程来说，_和方程通解的-判别曲线都是方程的包络，从而为方程的奇解。二、 计算（14+18+16+16分）1、 利用存在唯一性定

2、理推出已给方程具有唯一解的区域。 （1）、 （2）、2、求方程下列方程的奇解。 （1）、（2）、 （3）、3、设方程中，如果 a)、原始条件，原始区域 ：，试求存在区间，并于之外，再求三个进似。 b)、原始条件，原始区域 ：试求存在区间，并于之外，再求，给出真解与第二近似的误差估计。4、在区域：内，关于初值问题 （1） 确定在逐步逼近法中所得到的最大定义区间（不经延展）；（2） 求出这个解，确定此解本身的最大定义区间。三、 证明题 （24分）1、 设函数方程中，在矩形上连续，。试用存在唯一性定理证明此函数方程在楼区间内存在一解，并且.2、 设方程的右端函数在整个平面上连续可微且.求证：若方程的

3、非常数解，当时趋于，则或 . 四、 附加题 （10分） 1、求这样的曲线，使其任一点的切线到两已知点的距离的乘积为一常数。 答案一、填空题1、是积分方程的定义于的连续解2、在上关于满足利普希茨条件，利普希茨常数3、4、可微连续的5、一阶线性方程，黎卡体方程6、-判别曲线二、计算 1、（1）解：因为 所以满足普希茨条件 又 因此唯一解区间是全平面（2）、解：由于在上破坏了普希茨条件， 且 ； 所以 又因为当经过时变号，所以在 上解不唯一。 2、（1）、解：方程右端内连续， 在直线上为无穷大 显然为方程的解，可以看出在直线上的每一点，有通解中的一条曲线与它们相切，所以为方程的奇解（2）、解：容易求

4、得通解为 从 中消去， 得-判别曲线为 检验得：为方程的奇解（3）、解：从中消去得到即-判别曲线为检验得：为方程的奇解3、 解：a)、因为 故 所以 又所以 区间为 b)、因为 故 所以 区间4、 解：由题意知 故 （1） 所以最大定义区间为（2） 因为 解得： 又 故有 所以这个方程的解是且此解的最大定义区间为三、证明题 1、证：作微分方程 -（*） 因为 所以存在的某一领域： 使得 因此，方程（*）的右端在内连续 由存在唯一性定理可知：方程（*）有满足初始条件.的解，且此解的定义区间为 其中 我们再来证明就是函数方程在上满足方程条件的解，事实上，由恒等式 得出 因此 从 得到 则 当时，成立。 2、证：因为在全平面连续可微， 所以方程适合初始条件的解是唯一的， 现用反证法证明。 如果或，且 则方程有非常数解适合初始条件； 另一方面：由可知方程还有一初始条件的常数解 这就与唯一性相矛盾 因此假设不成立，原命题成立。四、附加题1、 设两已知点为且在曲线的两侧故点处的切线为 点到切线的距离为 点到切线的距离为 由得到的微分方程 通解为 这是一直线族，为了得到所求的曲线，可求出通解的包络（即奇解）为 （其中）当和分别位于曲线的两侧时，用换即求得的曲线 （其中）