1、微分方程 第七章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题引例引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的切线斜率为 2x,求该曲线的方程.引例引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.求出制动后多少时间列车能停住,及制动后行驶的路程.常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形
2、式是的阶阶.分类或 使方程成为恒等式的函数.通解：通解：解中所含独立的任意常数的个数与方程阶数相同.确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):特解：特解：微分方程的解解 不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.例例1.验证函数是微分方程的解,的特解.并求满足初始条件 求所满足的微分方程.例例2.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q且线段 PQ 被 y 轴平分,转化 可分离变量的微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可可分离变量方程分离变量方程 可分离变量方程的解法可分离变量方程的解法:两边积分,得 说明：当
3、G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,根据隐函数存在定理,由确定的隐函数 y(x)是的解.同样,当F(x)=f(x)0 时,由确定的隐函数 x(y)也是的解.则有称为方程的隐式通解.例例1.求微分方程的通解.(C 为任意常数)例例2.解初值问题例例3.求下述微分方程的通解:(C 为任意常数)例例5.5.(C 0 )例例4.求下述微分方程的通解:后者是通解,但不包含前一个解.通解不一定是方程的全部解.y=x 及 y=C 例例7.成正比,求并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.例例6.子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解作业 P304 1(1),(5),(7),(10)2(3),(4)6
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