4-4线性方程组的解的结构.ppt

1、第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质二、基础解系的求法二、基础解系的求法三、非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质四、小结四、小结无无 解解有有 解解R(A)R(B)R(A)=R(B)唯一解唯一解无穷多解无穷多解R(A)=nR(A)n唯一零解唯一零解R(A)=nR(A)n无穷多解无穷多解增广矩阵增广矩阵 B（A，b）系数矩阵系数矩阵 A 当当 AX=b有无穷多解时，这无穷多解可用一个含参数的有无穷多解时，这无穷多解可用一个含参数的表达式来表示，称为线性方程组的表达式来表示，称为线性方程组的通解通解。AX=bAX=0

2、解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组若记若记（1）一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程若若为方程为方程 的的解，则解，则称为方程组称为方程组(1)的的解向解向量量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合

3、，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间证毕证毕.基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法定理定理1 1例例1 1 求以下线性方程组的一个基础解系求以下线性方程组的一个基础解系.解：解：对系数矩阵对系数矩阵A做初等行变换做初等行变换取取x3，x4为自由量，得为自由量，得即一般解即一般解该方程组的一个基础解系为该方程组的一个基础解系为例例2 求齐次线性方程组求齐次线性方程组

4、的的基础解系与通解基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有Ex1 解线性方程组解线性方程组解：解：对系数矩阵施行初等行变换对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证明其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解，

5、为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为3 3线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用）应用Cramer法则法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多

6、解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例3 求解非齐次线性方程组的通解及对应的齐次求解非齐次线性方程组的通解及对应的齐次 线性方程组的一个基础解系线性方程组的一个基础解系.解解:对增广矩阵做初等行变换对增广矩阵做初等行变换取取x3为自由量，解得为自由量，解得即即k为任意数为任意数.对应齐次方程组对应齐次方程组Ax0的基础解系为的基础解系为例例4 求解方程组求解方程组解解:齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结四、小结（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形由于由于令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR=()()nBRAR=线性方程组解的情况线性方程组解的情况