高等数学第六版__空间解析几何与向量代数[1].ppt

1、11/4242第第 八八 章章空间解析几何 与向量代数 22/343411/12/20242第五节第五节 平面及其方程平面及其方程主要内容主要内容1.平面的点法式方程平面的点法式方程2.平面的一般方程平面的一般方程3.两平面的夹角两平面的夹角1-41-4班班班班5-85-8班班班班33/3434设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解44/3434将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程55/3434设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解66/3434化简得化简得令令代入体积式代入

2、体积式所求平面方程为所求平面方程为77/3434（通常取锐角）通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面的夹角.1 1、定义、定义按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式88/3434/2 2、两平面位置特征：、两平面位置特征：例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角99/3434两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.1010/3434解解1111/3434点到平面距离公式点到平面

3、距离公式1212/3434一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角三、两平面的夹角三、两平面的夹角三、平面的截距式方程三、平面的截距式方程三、平面的截距式方程三、平面的截距式方程小小 结结1313/3434?思考题思考题思考题思考题1414/343411/12/202414第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程主要内容主要内容1.空间直线的一般方程空间直线的一般方程2.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程3.两直线的夹角

4、两直线的夹角4.直线与平面的夹角直线与平面的夹角5.杂例杂例1515/3434定义定义空间直线可看成空间直线可看成两平面的交线两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程1616/34341 1、方向向量、方向向量 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/2 2、直线的方程、直线的方程1717/3434直线的对称式方程直线的对称式方程令令直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程1818/3434例例1 1 用对称式方

5、程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标1919/3434因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程【注意注意】直线的三种方程之间的互化直线的三种方程之间的互化.2020/3434解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程2121/3434定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式1 1、定义与夹角公式、定义与夹角公式2222/34342 2、两直线的位置关系：、两直线的

6、位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，2323/3434定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角1 1、定义与夹角公式、定义与夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式2424/34342 2、直线与平面的位置关系：、直线与平面的位置关系：/解解为所求夹角为所求夹角2525/3434解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程2626/3434解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平

7、面的交点N N,令令2727/3434代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为2828/3434思思思思 考考考考 题题题题2929/3434且有且有故当故当 时结论成立时结论成立3030/3434一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程1 1、方向向量、方向向量2 2、方程的建立、方程的建立三、两直线的夹角三、两直线的夹角三、两直线的夹角三

8、、两直线的夹角1 1、定义与夹角公式、定义与夹角公式2 2、两直线的位置关系、两直线的位置关系四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角1 1、定义与夹角公式、定义与夹角公式2 2、直线与平面的位置关系：、直线与平面的位置关系：小小 结结P42 2.5.6.9 P49 2.3.5.7.8.9.14.15 下节下节下节下节讲讲讲讲多元函数的基本概念多元函数的基本概念 请预习请预习请预习请预习3232/3434练习练习1【解解】将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为3333/3434即有即有3434/3434练习练习2求过点求过点且且平行于平面平行于平面又与又与直线直线相交的直线方程相交的直线方程【解解】设设所求直线的方向数为所求直线的方向数为则则直线方程为直线方程为化成参数方程，有化成参数方程，有代入已知直线方程，得代入已知直线方程，得又又所求直线与已知平面平行所求直线与已知平面平行3535/3434（两边同乘以（两边同乘以 ）解得解得直线方程为直线方程为