概率与数理统计21.ppt

1、第二章第二章 随机变量及概率分布随机变量及概率分布2.1 离散型随机变量离散型随机变量教学目标：教学目标：理解随机变量的定义；理解随机变量的定义；掌握离散型随机变量的性质及其分布律的求法；掌握离散型随机变量的性质及其分布律的求法；掌握几个重要的常见离散分布掌握几个重要的常见离散分布一、一、1.随机变量概念的产生随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念示，由此就产生了随机变量的概念.1）、有些试验结果本身与数值有关（本身就是）、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）一个数）.例如，掷一颗骰子面上出

2、现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；四月份哈尔滨的最高温度；四月份哈尔滨的最高温度；每天进入一号楼的人数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2）、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，）、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也也就是说，就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.正如裁判员在运正如裁判员在运动场上不叫运动动场上不叫运动员的名字而叫号员的名字而叫号码一样，二者建码一样，二者建立了一种对应关立了一种对应关系系.这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值这种对应关系在数学上理解为定义

3、了一种实值单值函数单值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！数不一样！（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率有一定的概率.称这种定义在样本空间称这种定义在样本空间S上的实值单值函数上的

4、实值单值函数X=X(e)为为随随量量机机变变简记为简记为 r.v.而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x,y,z,w,n等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示 有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来以通过随机变量的关系式表达出来.2 2、引入随机变量的意义、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于

5、1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X=0 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律我们将研究两类随机变量：我们将研究两类随机变量：如如“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续

6、型随机变量例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中，实际中常遇到的常遇到的“测量误差测量误差”等等.3 3、随机变量的分类、随机变量的分类 这两种类型的随机变量因为都是随机变量，这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点同，又有其各自的特点.随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法学习时请注意它们各自的特点和描述方法.定义定义2：某些随机变量：某些随机变量X的所有可能取值是有限多的所有可能取值是有限多个或可列无限多个个或

7、可列无限多个,这种随机变量称为这种随机变量称为离散型随机离散型随机变量变量.二：二：1.离散型随机变量及其概率函数离散型随机变量及其概率函数其中其中 (k=1,2,)满足：满足：k=1,2,（1）（2）定定义义3：设设 xk(k=1,2,)是是离离散散型型随随机机变变量量 X 所所取的一切可能值，称取的一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律.用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律2、离散型随机变量表示方法、离散型随机变量表示方法（1）公式法）公式法（2）列表法）列表法X注：注：（1 1）在求离散型随即变量的分布律时，先找出）在求离

8、散型随即变量的分布律时，先找出X所有所有可能的取值，再求出每个值相应的概率；可能的取值，再求出每个值相应的概率；例1完完离散型随机变量离散型随机变量 在某范围内取值的概率，等于它在某范围内取值的概率，等于它在这个范围内在这个范围内一切可能取值一切可能取值对应的概率之和。对应的概率之和。三、三种常见分布三、三种常见分布1、（、（0-1）分布：）分布：（也称两点分布）（也称两点分布）随机变量随机变量X只可能取只可能取0与与1两个值，其分布律为：两个值，其分布律为：2.1)二项分布：二项分布：2）.实际背景实际背景:n重贝努利试验重贝努利试验X=在在n次试验中事件次试验中事件A发生的次数发生的次数P

9、=在每次试验中事件在每次试验中事件A发生的概率发生的概率3）特别特别：两点分布（或两点分布（或0-1分布）分布）4）.适用范围：适用范围：n次独立重复试验次独立重复试验 （1）从一批足够多的产品中任意抽取）从一批足够多的产品中任意抽取n件，件，其中恰有其中恰有k件件“废品废品”;（2）随机抛掷硬币）随机抛掷硬币n次，恰好出现次，恰好出现 k次次“正面正面”；（3）射手射击）射手射击n次，其中恰有次，其中恰有k次次“击中击中”.3.1 泊松分布1）适用范围：）适用范围：(1)泊松分布可以作为描绘泊松分布可以作为描绘大量独立试验中稀有事件大量独立试验中稀有事件 出现的次数出现的次数k=0,1,2,

10、的概率分布情况的数学模型的概率分布情况的数学模型.A.大量螺钉中不合格品出现的次数大量螺钉中不合格品出现的次数.B.一页中印刷错误出现的数目一页中印刷错误出现的数目.C.数字通讯中传输数字时发生误码的个数数字通讯中传输数字时发生误码的个数.(2)也可以作为下列随机变数的概率分布的数学概型也可以作为下列随机变数的概率分布的数学概型.在任给一段固定时间间隔内：在任给一段固定时间间隔内：D.放射物质放射出的质点放射物质放射出的质点.E.到某公共设施要求给予服务的顾客数到某公共设施要求给予服务的顾客数.（如：走进邮局的顾客）（如：走进邮局的顾客）F.事故、错误、故障及其它灾害性事件数事故、错误、故障及

11、其它灾害性事件数.2）.定义：定义：(四四)二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布的关系1.定理定理(证明证明)说明说明:二项分布的极限是泊松分布二项分布的极限是泊松分布2.注意注意:一般地，n不小于于20，p不大于0.05例例8:在一个繁忙的交通路口在一个繁忙的交通路口,一辆机动车发生交通一辆机动车发生交通事故的概率为事故的概率为P=0.0001,在某段时间内有在某段时间内有5000辆辆机动车通过这个路口机动车通过这个路口,求发生事故的概率求发生事故的概率分析分析:设设X表示在这段时间内通过这个路口发生交表示在这段时间内通过这个路口发生交 通事故的机动车的辆数通事故的机动车的辆数,它服从参数它服从参数n=5000,p=0.0001的二项分布的二项分布,即即解解:PX1=1-PX1