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大一高等数学期末考试试卷及答案详解.doc

1、 大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)1. (3分)若为连续函数,则的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. (3分)已知则的值为( ).(A)1 (B)3 (C)-1 (D)3. (3分)定积分的值为( ).(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若在处不连续,则在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分)1(3分) 平面上过点,且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为 .2. (3分) .3. (3分) = .4. (3分) 的极大值为 .三、计算题(共42分)1. (6分)求2. (6

2、分)设求3. (6分)求不定积分4. (6分)求其中5. (6分)设函数由方程所确定,求6. (6分)设求7. (6分)求极限四、解答题(共28分)1. (7分)设且求2. (7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积.3. (7分)求曲线在拐点处的切线方程.4. (7分)求函数在上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设在区间上连续,证明(二)一、 填空题(每小题3分,共18分)1设函数,则是的第 类间断点.2函数,则.3 .4曲线在点处的切线方程为 .5函数在上的最大值 ,最小值 .6.二、 单项选择题(每小题4分,共20分)1数列有界是它收敛的( ) .必要但非充分条件;

3、充分但非必要条件 ; 充分必要条件; 无关条件.2下列各式正确的是( ) .; ; ; .3 设在上,且,则曲线在上.沿轴正向上升且为凹的; 沿轴正向下降且为凹的; 沿轴正向上升且为凸的; 沿轴正向下降且为凸的.4设,则在处的导数( ). 等于; 等于; 等于; 不存在.5已知,以下结论正确的是( ).函数在处有定义且; 函数在处的某去心邻域内有定义; 函数在处的左侧某邻域内有定义;函数在处的右侧某邻域内有定义.三、 计算(每小题6分,共36分)1求极限:.2. 已知,求.3. 求函数的导数.4. .5. .6.方程确定函数,求. 四、 (10分)已知为的一个原函数,求.五、 (6分)求曲线的

4、拐点及凹凸区间.六、 (10分)设,求.(三)一、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分).(1) =_.(2)曲线上与直线平行的切线方程为_.(3)已知,且, 则_ .(4)曲线的斜渐近线方程为 _(5)微分方程的通解为_二、选择题 (本题共5小题,每小题4分,共20分).(1)下列积分结果正确的是( D )(A) (B) (C) (D) (2)函数在内有定义,其导数的图形如图1-1所示,则( D ).(A)都是极值点. (B) 都是拐点.(C) 是极值点.,是拐点. (D) 是拐点,是极值点.图1-1 (3)函数满足的一个微分方程是( D ).(A) (B)(C) (D)(4)设在处可

5、导,则为( A ).(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 . (5)下列等式中正确的结果是 ( A ).(A) (B) (C) (D) 三、计算题(本题共4小题,每小题6分,共24分).1求极限. 解 = 1分 = 2分 = 1分 = 2分2.方程确定为的函数,求与.解 (3分) (6分) 3. 4. 计算不定积分 .4.计算定积分.解 (3分) (6分)(或令)四、解答题(本题共4小题,共29分).1(本题6分)解微分方程.2(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水,设桶的底半径为,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力 解:建立坐标系如图xy3. (本

6、题8分)设在上有连续的导数,且,试求.4. (本题8分)过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形D.(1) (3) 求D的面积A;(2) (4) 求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V. 解:(1) 设切点的横坐标为,则曲线在点处的切线方程是 -1分由该切线过原点知 ,从而所以该切线的方程为 -1分 平面图形D的面积 -2分(2) 切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为 2分曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为, 1分因此所求旋转体的体积为 1分五、证明题(本题共1小题,共7分).1.证明对于任意的实数,.解法一:解法二:设则 1分因为 1分当时,

7、单调增加, 2分当时,单调增加, 2分所以对于任意的实数,即。 1分解法三:由微分中值定理得,其中位于0到x之间。 2分当时,。 2分当时,。 2分所以对于任意的实数,。 1分(四)一填空题(每小题4分,5题共20分):1 .2.3设函数由方程确定,则.4. 设可导,且,则.5微分方程的通解为.二选择题(每小题4分,4题共16分):1设常数,则函数 在内零点的个数为( B ).(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2 微分方程的特解形式为 ( C )(A); (B);(C); (D)3下列结论不一定成立的是 ( A )(A) (A) 若,则必有;(B) (B) 若在上

8、可积,则;(C) (C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;(D) (D) 若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4. 设, 则是的( C ).(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三计算题(每小题6分,5题共30分):1计算定积分. 解: -2 -2 -22计算不定积分.解: -3 -33求摆线在处的切线的方程.解:切点为 -2 -2 切线方程为 即. -24. 设 ,则.5设,求.解: -2 -2 = -2 故 = 四应用题(每小题9分,3题共27分)1求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.解:设切点为,则过原点的切线方程为,由

9、于点在切线上,带入切线方程,解得切点为.-3过原点和点的切线方程为-3 面积=-3 或 2设平面图形由与所确定,试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积. 解: 法一: -6 -3法二:V= - 5 - 43. 设在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.解: - 3 -3-2故-1五证明题(7分)设函数在上连续,在内可导且试证明至少存在一点, 使得证明:设,在上连续在可导,因,有,- 2又由,知在上用零点定理,根据,- 2可知在内至少存在一点,使得,由ROLLE中值定理得 至少存在一点使得即,证毕. -3标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 2 3 0; 4 0.三、 1 解 原式 6分2 解 2分 4分3 解 原式 3分 2分 1分4 解 令则 2分 1分 1分 1分 1分5 两边求导得 2分 1分 1分 2分6 解 2分 4分7 解 原式= = 6分 四、1 解 令则 3分= 2分 2分 1分2 解 3分 2分 2分3 解 1分令得 1分当时, 当时, 2分为拐点, 1分该点处的切线为 2分4 解 2分令得 1分 2分最小值为最大值为 2分五、证明 1分 1分 1分 1分 1分移项即得所证. 1分13

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