基于水平集的医学图像分割.doc

1、毕业论文选题报告姓名*性别男学院信息与电气工程学院年级2008级学号*设计题目基于水平集的医学图像分割课题来源教师科研课题类别应用研究选做本课题的原因及条件分析：随着计算机科学技术的不断发展，数字图像处理与分析引起了各个领域研究的广泛关注。图像分割是图像处理重要的研究内容，通过图像分割、目标分离、特征提取、参数估计等技术可以将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。它是图像理解的重要组成部分，是图像处理到图像分析的关键步骤，图像分割结果的好坏直接影响到对于图像后续处理的质量。指导教师意见：基于水平集的图像分割是当前医学图像分割的重要研究方法，对该算法的实现可以对图

2、像分割有着充分的认识。选题内容较为合理，有较好的研究和应用价值，符合论文相关的要求，同意选题。 签名：2012年 1 月 2日学院毕业论文（设计）领导小组意见： （公章） 年 月 日毕业论文任务下达书学院 信息与电气工程学院 专业 计算机科学与技术 学号 *姓名 *现将毕业设计任务下达书发给你。毕业设计任务下达书内容如下：一、 毕业设计题目 基于水平集的医学图像分割 二、主要内容1.了解图像分割的有关内容，熟练运用matlab； 2.了解与水平集有关的图像分割的内容； 3.了解程序要完成的功能，完成所需代码。 三、具体要求（1）查找资料，分析要解决的问题是什么，怎样实现； （2）理解并掌握设计

3、要求，找到需要学习的知识点； （3）以详细设计为基础，进行编码与单元测试； （4）整合测试，按照规定完成毕业论文，进行答辩。 四、主要参考文献1 章毓晋 图像分割M.北京：科学出版社,2001. 2 张治国，周越，谢凯 一种基于 Mumford-Shah 模型的脑肿瘤水平集分割算法J.上海交通大学学报，2005，39：19551962. 3算王文杰，封建湖 基于变分 Level Set 方法的图像分割;计机工程与应用：2006年18期. 五、进程安排阶 段起 止 日 期主 要 内 容准备开题阶段2011.11.18-2012.3.8搜集资料，学习相关知识设计实现阶段2012.3.10-2012

4、.5.10根据需求完成代码设计说明书完成阶段2012.5.11-2012.5.20根据设计撰写说明书，完善论文答辩阶段2012.5.21-2012.5.25定稿，准备答辩材料六、毕业设计任务下达书于 2012 年1月6日发出。毕业设计应于2012年5 月20 日前完成后交指导教师，由指导教师评阅后提交毕业设计答辩委员会。七、 毕业设计任务下达书一式两份，一份给学生，一份留学院存档。 指导教师： 签发于 2012 年 1 月 6 日 分管院长： 签发于 年 月 日 毕业论文开题报告姓名 *性别男学院信息与电气工程学院年级2008级学号*预计完成时 间2011.5.22设计题目基于水平集的医学图像

5、分割课题来源教师科研课题类别应用研究指导教师*毕业设计实施方案：第一阶段：开题 了解论文要求，学习图像分割的相关内容；第二阶段：综合分析 实现基本的功能；第三阶段：修改完善设计 在初步完成的基础上，查看所做设计是否完善，各种操作能否达到预期效果；第四阶段：完成论文，对完成的设计进行最后的试用并修改细节；第五阶段：完成基于水平集的医学图像分割的设计说明书。设计主要内容（提纲）：本文主要探讨基于水平集方法的活动轮廓模型图像分割技术，详细介绍了基于水平集图像分割方法：Chan-Vese模型。通过对Chan-Vese模型的研究详细介绍了Chan-Vese模型的水平集求解方法，提出了基于Chan-Ves

6、e模型的图像分割算法。指导教师意见：该同学对于基于水平集的图像分割实现所采用的设计平台matlab较为熟练，对图像分割、水平集进行了充分的学习，可以在规定时间内实现基于水平集的图像分割，实施方案过程合理清晰，步骤合理，阶段任务明确；论文内容完整、科学，符合论文的相关要求，已经具备了开题的条件，同意开题。签名： 2012年 3月 12日 年 月 日学院毕业论文（设计）领导小组意见： （公章） 年 月 日（签章） 年 月 日毕业论文结题报告姓名*性别男院系信息与电气工程学院年级2008级学号*设计题目基于水平集的图像分割算法的研究课题来源教师科研课题类别应用研究指导教师*本课题完成情况介绍（包括研

7、究过程、实验过程、结果分析、存在的问题及应用情况等。）本论文完成了基于水平集的医学图像分割，实现了图像中轮廓的提取。经过一段时间的学习以及使用matlab对图像进行处理，基本掌握了图像分割的相关知识点。Chan-Vese模型只利用了图像的灰度信息，而没有利用图像的梯度信息，致使在一些多目标的图像分割应用中产生图像边缘定位不准确的缺陷。指导教师意见：该同学通过编程，实现了基于水平集的图像分割，并将其应用到医学影像处理中。基本达到了任务下达书的要求，同意结题。签名： 2012年5月23日 学院毕业论文（设计）领导小组意见：（公章） 年 月 日设计成绩毕业论文成绩评定表学院：信息与电气工程学院 学号

8、：20082212442姓 名*论文总成绩论文题目基于水平集的图像分割算法的研究指导教师评语评定成绩： 签名： 年 月 日评阅人评语评定成绩： 签名： 年 月 日答辩小组评语答辩成绩： 组长签名： 年 月 日注：1、论文总成绩=指导教师评定成绩（50%）+评阅人评定成绩（20%）+答辩成绩（30%）2、将总成绩由百分制转换为五级制，填入本表相应位置。目 录1前言12开发平台22.1MATLAB介绍22.2MATLAB的优点22.3MATLAB的功能33. 图像分割有关内容33.1图像分割33.2图像分割的研究意义53.3图像分割常用方法53.3.1.阈值分割方法53.3.2.边缘检测分割方法6

9、3.3.3.区域提取分割方法63.3.4.结合特定理论工具的分割方法74水平集方法74.1水平集方法74.2水平集函数84.2.1符号距离函数95基于CHANVESE模型的研究105.1CHAN-VESE模型105.2CHANVESE模型的水平集求解125.3CHANVESE模型的图像分割算法156实验结果167结论和展望17参考文献18致 谢18附录A18*大学本科毕业论文基于水平集的医学图像分割*（信息与电气工程学院，计算机科学与技术专业，2008级*班， *）摘要：图像分割技术是一种在理论研究与实际应用中得到广泛重视的重要的图像技术。水平集方法近年来受到研究人员的关注。它的主要特征是可以

10、自然地改变轮廓曲线的拓扑结构，从而广泛应用于图像分割中。本文主要探讨基于水平集方法的活动轮廓模型图像分割技术，详细介绍了基于水平集图像分割方法：Chan-Vese模型。通过对Chan-Vese模型的研究详细介绍了Chan-Vese模型的水平集求解方法，提出了基于Chan-Vese模型的图像分割算法。关键词：图像分割；水平集；Chan-Vese模型Medical Image Segmentation Based on the Level Set*(School of Information &Electrical Engineering , Computer Science & Technolo

11、gy, Class *Grade2008,*)Abstract：Image segmentation is of key importance in computer image processing, and is very important for the successful image analysis. Recently, level set method has received a great deal of attention especially for image segmentation. The main advantage of level set is that

12、it can handle topological structure naturally and automatically, therefore it is widely used in image segmentation. This article discusses the specific application and research in image segmentation based on the level set method. This paper gives a detailed study about the traditional model of level

13、 set in image segmentation Chan-Vese model. Through the study of Chan-Vese model, introducing Chan-Vese level set method to solve the model, and puts forward the Chan-Vese model based on image segmentation algorithm.Key Words: image segmentation; level set; Chan-Vese model1前言随着计算机科学技术的不断发展，数字图像处理与分析

14、引起了各个领域研究的广泛关注。图像分割是图像处理重要的研究内容，通过图像分割、目标分离、特征提取、参数估计等技术可以将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。图像分割技术是一种重要的图像技术，具有广泛的应用前景。图像分割是图像处理重要的研究内容，通过图像分割、目标分离、特征提取、参数估计等技术可以将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。它是图像理解的重要组成部分，是图像处理到图像分析的关键步骤，图像分割结果的好坏直接影响到对于图像后续处理的质量，同时也是图像处理中最古老和最困难的问题之一。目前，图像分割在工业自动化、在线产品检验、生

15、产过程控制、文档图像处理、遥感卫星图像处理（图1.1）、生物医学图像处理（图1.2）、视频图像处理、基于内容的图像库检索、保安监视、以及军事、体育、农业工程等方面已经得到广泛的应用。 图1.1 图1.22开发平台2.1Matlab介绍 Matlab是一门计算机编程语言，是一种科学计算软件。Matlab将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的内置函数，被广泛应用在科学计算、信息处理、控制系统等领域的分析、仿真和设计工作中。Matlab已经受了用户的多年考验。在欧美发达国家，Matlab 已经成为应用线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的

16、基本教学工具；成为攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB被广泛地用于研究和解决各种具体工程问题。2.2Matlab的优点Matlab具有以下优点：1人机界面友好；2简单易学、易读易写、代码短小高效；3智能化程度高；4具有丰富的数学功能；5图形表达功能强；6功能丰富、可扩展性强。2.3Matlab的功能Matlab具有以下功能：1 强大的数值运算功能；2 广泛的符号运算功能；3 高级与低级兼备的图形功能；4 可靠的容错功能；5 应用灵活的兼容与接口的功能；6 信息量丰富的联机检索功能；3. 图像分割有关内容3.1图像分割对图像进行研究和应用时，

17、人们往往对图像中的某些部分感兴趣，这些部分常被称为目标或对象。图像处理的重要任务就是对图像中的对象进行分析和理解。在图像分析中，输出的结果是对图像的描述、分类、或其他的结论，而不再像一般意义上图像处理那样输出也是图像。图像分析主要包括以下几部分内容：1.把图像分割成不同的区域，或把不同的东西分开（分割）；2.找出各个区域的特征（特征提取）；3.识别图像的内容，或对图像进行分类（识别与分类）；4.结出结论（描述、分类或其他的结论）。一个典型的图像分析和理解的系统如图3.1所示。该系统分为图像输入、预处理、图像分割、图像识别、结构句法分析。图3.1图像分割是指把图像分成互不重叠的区域并提取出感兴趣

18、目标的技术。在图像特征提取之前重要的一部分工作就是图像分割，图像分割的好坏直接影响到图像的分析结果。图像分割是一种重要的图像技术，在理论和实际应用中都得到人们的广泛重视。图像分割的方法和种类有很多，有些分割运算可以直接应用于许多图像，而另一些分割方法可以按照人们的意愿准确地分割任何一种图像。从20世纪70年代起，许多学者和研究人员致力于研究图像的分割算法，至今已经提出了千余种分割算法。图像分割时，通常可以根据图像的两种特性进行分割，一种是根据各个像素点的灰度不连续性进行分割；一种是根据同一区域具有相似的灰度。这两种方法都有各自的优点和缺点。常见的分割算法有阈值分割、边缘检测、边缘跟踪、区域分割

19、与合并等，如图3.2所示。图 3.23.2图像分割的研究意义图像技术在广义上是各种与图像有关技术的总称。图像工程是一个对整个图像领域进行研究应用的新学科，它的内容非常丰富，根据抽象程度和研究方法等的不同可分为三个各有特点的层次：图像处理、图像分析和图像理解。图像分割是由图像处理到图像分析的关键步骤，在图像工程中占据重要的位置，一方面，它是目标表达的基础，对特征测量有重要的影响。另一方面，因为图像分割及其基于分割的目标表达、特征提取和参数测量等将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。虽然人们对图像分割已进行了大量的研究，但还没有一种适合于所有图像的通用的分割算法。

20、所以，图像分割一直以来都是图像技术中的研究热点，也是制约图像技术发展的一个瓶颈。因此，从原理、应用和应用效果等方面来深入研究图像分割技术，对于提高图像分析和图像理解系统的性能以及提高图像处理技术的应用水平都具有十分重要的意义。3.3图像分割常用方法图像分割是图像处理中的一项关键技术，自20世纪70年代起一直受到人们的高度重视，至今已经提出了上千种分割算法，但因尚无通用的分割理论，先提出的分割算法大都是针对具体问题，并没有一种适合所有图像的通用分割算法。另外，还没有制定出选择适用分割算法的标准，这给图像分割技术的应用带来许多实际问题。一般而言，图像分割方法可以分为如下四类：1）阈值分割方法2）边

21、缘检测分割方法3）区域提取分割方法 4）结合特定理论工具的分割方法3.3.1.阈值分割方法图像分割的经典方法是基于灰度阈值的分割方法。它通过设置阈值，把像素点按灰度级分若干类，从而实现图像分割。把一幅灰度图像转换成二值图像是阈值分割的最简单形式，设原始图像中找出一个灰度值作为阈值，将图像分割为两部分，即把大于等于该阈值的像素点的值设置成1，小于该阈值的像素点的值设置为0。阈值运算后的图像为二值图像如下式所示：上式中全局阈值T的选择直接影响分割效果。通常可以通过分析灰度直方图来确定它的值，最常用的方法是利用灰度直方图求双峰或多峰，选择两峰之间谷底处的灰度值作为阈值，如图3.3所示。图3.33.3

22、.2.边缘检测分割方法 边缘检测是基于灰度不连续性进行的分割方法。图像边缘是图像中灰度发生急剧变化的像素的集合，是图像最基本的特征之一，它是图像局部特性不连续（或突变）的结果，例如，灰度值的突变、颜色的突变、纹理的突变等。根据灰度变化的特点，可将边缘分为阶梯状边缘、屋顶状边缘与线性边缘三种类型，具体描述如下：阶梯状边缘：从一个灰度值跳跃到另一个差距较大的灰度值；屋顶状边缘：灰度值慢慢增加到一定程度后慢慢减小；线性边缘：灰度值从一个值跳到另一个灰度值之后然后回来。对于阶梯状边缘，灰度变化曲线的一阶导数在边缘处呈现极值，而二阶导数在边缘处呈现零交叉；对于脉冲状和屋顶状边缘，灰度变化曲线的一阶导数在

23、边缘处呈现极值，而二阶导数在边缘处呈现零交叉；对于脉冲和屋顶状边缘，灰度变化曲线的一阶导数在边缘处呈现零交叉，而二阶导数在边缘处呈现机制。边缘检测是图像分割、目标区域识别、区域形状提取等图像分析的基础，一幅图像就是一个信息系统，其大量的信息是由它的轮廓提供的。因此，边缘提取与检测在图像处理中占有很重要的地位，其算法的优劣直接影响着所研制系统的性能。传统的边缘检测方法基于空间运算，例如可以借助空域微分算子进行，通过将算子模板与图像进行卷积合成。根据模板的大小和元素值的不同有不同的微分算子如Robert算子、Sobel算子、Prewitt算子、LOG算子、Canny算子等，这些空域边缘算子对噪声都

24、比较敏感。且常常会在检测边缘的同时加强噪声。3.3.3.区域提取分割方法基于区域的分割方法是利用区域内的特征的相似性把图像划分成一系列有意义区域的处理方法。常用的基于区域的分割方法有两种：区域生长与分裂合并。它们是两种典型的串行区域技术，其分割过程后续步骤的处理要根据前面步骤的结果进行判断而确定。区域生长的基本思想是将具有相似特性的像素集合起来构成区域，首先为每个需要分割的区域确定一个种子像素作为生长起点，然后按一定的生长准则把它周围与其特性相同或相似的像素合并到种子像素所在的区域中，把这些新像素作为种子像素继续增生长，直到没有满足条件的像素可被包括，这时候停止生长，一个区域就形成了。在实际应

25、用区域生长法时需要解决三个问题：（1）选择或确定一组能正确代表所需区域的种子像素；（2）确定在生长过程中能将相邻像素包括进来的准则；（3）制定让生长过程停止的条件或规则。分裂合并法的主要思想是从图像开始通过不断分裂合并得到各个区域。一种利用四叉树表达方法的分割算法如下，其中 代表整个正方形图像区域， 代表检验准则。（1）对任意区域 ，若 就将其分裂为不重叠的四等分；（2）对相邻的两个区域 ，就将它们合并；（3）若无法进行进一步的分裂和合并，则算法结束。3.3.4.结合特定理论工具的分割方法图像分割至今为止尚无通用的自身理论，近年来，随着各学科许多新理论和新方法的提出，人们也提出了许多与一些特定

26、理论、方法和工具相结合的分割技术。如：基于数学形态学的图像分割方法、基于模糊技术的图像分割方法、基于人工神经网络技术的图像分割方法、基于遗传算法的图像分割方法、基于小波理论的图像分割方法。4水平集方法近年来出现了基于变形模型的图像分割算法，变形模型是定义在图像领域中的曲线或曲面，包括对待分割目标性状和特征的先验假设模型，并以能量函数的形式来反映这种先验知识以及曲线自身的描述。4.1水平集方法水平集方法主要是从接口传播等研究领域中逐步发展起来的， Osher 和Sethian首先提出依赖时间的运动界面的水平集描述。其主要思想是将移动的接口作为零水平集(Level Set =0)嵌入高一维的水平集

27、函数中，由闭超曲面的演化方程可以得到水平集函数的演化方程，而嵌入的闭超曲面总是其零水平集，最终只要确定零水平集即可确定移动接口演化的结果。水平集方法的基本思想是：给定封闭的初始轮廓，该初始轮廓不断沿其法线方向向外或向内以一定的速度演化，最终得到曲线（曲面）族。水平集方法把曲线族看作是更高维空间曲面的零水平集 ，则被称为水平集函数，当轮廓改变拓扑结构时， 仍可以保持连续，因而从原理上保持了这种方法很容易处理拓扑结构改变的问题。图4.1说明了水平集函数表达闭合曲线的方式，其中图4.1(a)是一条平面闭合曲线，图4.1(b)是其水平集函数的隐含表达，图中的黑线就是隐含为水平集的平面曲线。水平集方法处

28、理平面曲线的演化问题不是试图去跟踪演化后的曲线位置，而是遵循一定的规律，在二维固定坐标系中不断更新水平集函数，从而达到演化隐含在水平集函数中的闭合曲线的目的。这种演化曲线方式的最大特点是：即使隐含在水平集函数中的闭合曲线发生了拓扑结构变化，水平集函数仍然保持为一个有效的函数，图4.1(c)是水平集函数更新后其零水平集曲线的形状，而图4.1(d)中的零水平集曲线已经分裂为两条。 （a）平面闭曲线（b）闭曲线水平集函数的表达（c）水平集函数的演化（d）曲线拓扑结构发生变化图4.14.2水平集函数水平集方法通过一个高一维的函数曲面来表达低一维的轮廓曲线，即将轮廓曲线表达为高一维函数曲面的零水平集的间

29、接表达形式，并将轮廓曲线的运动方程转化为关于高维水平集函数的偏微分方程，据此思想，可得水平集表达方式：其中为水平集函数，为水平集函数对时间的偏导数，是与图像的灰度值以及轮廓曲线曲率有关的速度项，为梯度算子。4.2.1符号距离函数给定平面上的一条封闭曲线，以曲线为边界，把整个平面划分为两个区域：曲线外部区域和曲线内部区域。在平面上定义符号距离函数，其中是点到曲线的最短距离。距离的符号取决于该点在曲线内部还是外部，一般定义曲线内部点的距离为负值，如图4.2所示。在任意时刻，曲线上的点就是符号距离函数值为零的点(即符号距离函数的零水平集)。尽管这种转化使问题在形式上变得复杂，但在问题的求解上带来很多

30、优点，最大的优点是曲线的拓扑变化能够得到很自然的处理，而且可以获得唯一的满足熵条件的解。图4.2符号距离函数取不同的数值的集合称为水平集，当时称为零水平集，它描述了平面上的一条封闭轮廓曲线。二维平面上轮廓曲线可隐含地表达为三维空间中连续函数曲面，曲面具有相同值的点集为平面上的轮廓曲线。将当前正在运动的轮廓曲线看作是一个更高维函数的水平集，利用轮廓曲线运动方程与 Hamilton-Jacobi 方程的相似性，水平集方法给出了一种轮廓曲线运动的强鲁棒性的计算方法。水平集方法最大的优势在于它的稳定性以及拓扑无关性。轮廓曲线在运动过程中可能会产生尖点，或者断裂为多条曲线或多条曲线融合为一条。水平集方法

31、可有效地处理这些情况，但是水平集方法有一个缺点，即计算量太大，因为它将二维的问题扩展到三维、三维的问题（曲面运动问题）扩展到了四维。维数的扩展增加了计算复杂度，平面轮廓曲线运动的计算复杂度为，三维曲面运动的计算复杂度为，其中是将正方形平面均匀离散成网格点后，水平方向的网格点数目。图 4.3 基于水平集方法的轮廓曲线运动示意图5基于ChanVese模型的研究几何活动轮廓模型与水平集方法相结合的曲线演化方法目前是广为关注的一种图像分割方法。该方法利用轮廓曲线的几何特性，建立轮廓曲线运动的能量函数，通过最小化能量函数，使轮廓曲线逐渐逼近图像中目标边界，并利用水平集函数将轮廓曲线运动方程转化为求解数值

32、偏微分方程问题。在这类方法中，Chan和Vese基于Mumford-Shah分割模型提出了Chan-Vese模型是研究的热点。此模型将原始图像视为由不连续集和分片常数图像组成的简单形式，停止函数不再依赖于图像的局部梯度，而是同质区域的全局信息。但在实际使用时，我们需要初始化水平集函数，虽然该模型对初始化轮廓线的位置没有具体要求，但是初始位置与收敛时间仍然紧密联系，不好的初始位置将会影响收敛速度。5.1Chan-Vese模型Mumford-Shah模型是近年来提出的一种优秀的图像分割模型,该模型的能量函数包含了对图像的区域、边界的描述。该模型的轮廓线检测可以基于梯度，也可以不利用梯度，对模糊边界

33、甚至不连续的边界都有很好的分割效果。通过优化该模型的能量函数，可以一次获得受噪声污染的图像的边界、区城以及平滑图像。如果将Mumford-Shah分割模型结合水平集方法，无疑将提高曲线演化模型分割图像的能力，并且这种模型在应用水平集公式时，初始轮廓线可以在任意位置，都能得到令人满意的结果。Chan和Vese提出一种基于简化Mumford-Shah模型和水平集的图像分割方法C-V方法。这种方法的速度函数不再依赖图像梯度，而是基于Mumford-Shah分割模型。该方法同时适用于梯度有意义和无意义的轮廓检测，也就是对边缘很平滑或不连续的图像分割同样适用。另外，该方法的速度函数定义于所有水平集，因此

34、，可以检测出带有空洞的目标的内部区域。设图像的定义域为,并设当前考察的图像边界将图像划分为若干近似同质区域，得分割图像。则Mumford-Shah图像分割模型就是寻找真正的图像边界，将图像划分为若干同质区域，并且所得分割图像和的误差比所有分割图像和原图像的误差都要小，即最小化如下能量方程： (5.1)（5.1）式的意义为，当最小时，所得边界将图像划分为若干平滑区域，并且可以得到边界。Chan和Vese提出种简化的Mumford-Shah模型。定义区域上的演化曲线是的一个子集的边界，也就是说。用表示（即曲线内部），来表示区域（即曲线外部）。假设图像被分为两个同质区域，为其分界线（即为所求轮廓）。

35、其内部灰度为，外部为，即： (5.2)设原图像被任意闭合活动轮廓线C划分为内部和外部，那么观察下面的函数： (5.3)式中和是依赖于的常量，分别表示内部和外部的平均灰度。那么时，（5.3）可以取得最小值。这一点很容易证明:若轮廓线C在实际边界外部，那么；若轮廓线C在实际边界内部，那么；若内部和外部同时有C，那么。所以只有时函数（5.3）可以取得极小值。加上平滑项，如长度和面积项，即可得到C-V图像分割的能量模型，如下： (5.4)最小化式（5.2），即可得到参数，即： (5.5)式中，是固定的参量，一般设置为。由于此模型利用了图像的全图信息，因此通过最小化能量函数（5.4），即可得到全局最优的

36、图像分割效果。5.2ChanVese模型的水平集求解根据水平集方法，所求轮廓线由零水平集来表示，并设是内正外负型的符号距离函数。即：Heaviside函数H定义如下： (5.6)Dirac函数定义如下：Heaviside函数在该方法中用来划分演化区域，而Dirac函数用来限定演化在零平集函数周围取值。方程中各项（5.4）中的各项可表示为：则Chan-Vese模型的能量泛函的水平集函数方程可改写为： (5.7)图像可以表达为水平集的形式： (5.8)令不变，最小化能量函数。可得到和的表达式： (5.9) (5.10)在时，即内部区域不为0时有意义；而在即外部区域不为0时才有意义。为了求解的表达式

37、，引入规则化的函数和函数，当用或来表示，且。一种改进的H函数： (5.11)这两种表达式是近似的规则化的H函数和函数（取）。不同的在区间上有非零值，而在任意地方都不为零。两种表达式的与函数的具体表现形式参见图5.1。图5.1 两种规格化的与函数用表示规格化之后的，则： (5.12)令和不变，关于求能量函数的最小值，可得如下偏微分方程： (5.13)则方程（5.11），（5.12），（5.13）即为得到的水平集形式的数值解。从方程（5.13）中可以看出，偏微分方程右边的图像函数以及，都定义在全部图像区域上，利用了图像的全局信息。因此Chan和Vese强调了C-V方法的一个特点就是全局化，可仅适用

38、一条初始闭合轮廓线，就把内部“真空”的目标检测出来，不需要为检测“真空”的目标而追加额外的约束条件。由于能量函数是非单调的，也就是说会存在局部极值，因此最后的结果就很有可能依赖于初始轮廓线的位置。如果用和，由于能量方程对的作用是局部的，只作用于零水平集附近的一小部分水平曲线上，所以最后的结果很大程度上依赖于初始轮廓线的位置，因此有可能收敛于局部极小解，并且不依赖于初始轮廓线的位置，因此有可能收敛于局部极小解；而如果采用和。方程可作用于所有的水平集曲线，所以算法会收敛于全局极小值，并且不依赖与初始轮廓线的位置。本实验中我们选取第2种规格化形式。5.3ChanVese模型的图像分割算法C-V图像分

39、割模型是根据简化的M-S模型提出来的，它利用了图像的全图信息，可以得到全局最优化的图像分割结果。然而它只是利用了图像的灰度信息，而没有利用图像的梯度信息，致使在一些多目标的图像分割应用中产生图像边缘定位不准确的缺陷。C-V 方法图像分割流程图如图 5.2 所示。否是开始输入图像图像预处理定义初始轮廓线和初始符号距离函数计算计算下一时刻水平集函数值更新轮廓线收敛检查迭代停止，输出最终轮廓线结束图5.2 C-V方法图像分割流程6实验结果为了验证算法的性能，选取不同的目标图像进行分割实验。实验选取了两幅图像分别进行水平集分割。初始轮廓线选取的为圆，其中圆心为图像的中心点，半径为圆心到图像另一固定点的

40、大小，实验结果如下： 图6.1（a） 原始图像 图6.1（b）初始轮廓线 图6.1（c）迭代1500次 图6.1（d）迭代3000次 图6.2（a）原始图像 图6.2（b）初始轮廓线 图6.2（c）迭代500次 图6.2（d）迭代3000次7结论和展望历年来，图像处理和计算机视觉中偏微分方程的应用受到了国内外有关学者极大的关注。图像分割是从图像处理到图像分析的关键步骤。对图像分割的研究一直是图像技术研究中的热点和焦点。其中，水平集的图像分割算法已广泛地应用与各个领域。水平集方法是一种简单、精确、灵活的数值方法，主要优势在于处理外形复杂、拓扑结构变化的图像。目前的研究主要基于水平集方法不断的降低

41、计算复杂度，提高算法速度和分割准确度。 参考文献1 章毓晋 图像分割M.北京：科学出版社,2001.2 罗希平等 图像分割方法综述J. 模式识别与人工智能，1999，12：300312.3 陆剑峰,林海,潘志庚 自适应区域生长算法在医学图像分割中的应用J.计算机辅助几何设计与图形学学报,2005,17：21682173.4黄艺,杜宇人 基于边缘信息的图像分割技术研究J.现代电子技术,2005,5：116120.5 邢军 基于Sobel 算子数字图像的边缘检测J.微机发展，2005，15：4850.6 韩其燕,何东健 基于区域生长的年轮图像分割方法J.农机化研究,2006,4：204206.7 王文杰，封建湖 基于变分 Level Set 方法的图像分割;计算机工程与应用: 2006年18期.8 张治国，周越，谢凯 一种基于 Mumford-Shah 模型的脑肿瘤水平集分割算法J.上海交通大学学报，2005，39：19551962.9 朱付平，田捷，林瑶等 基于 Level Set 方法的医学图像分割J.软件学报，2002，13：1866