《线性代数》复习提纲《线性代数》复习提纲.doc

1、线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化

2、，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识 一、行列式1行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算一阶|=行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：行列

3、式某行（列）元素全为0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若ABBA，称A、B是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行

4、的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若ABBAI，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A)-1=(A-1)；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件： |A|0；r(A)=n; A-I;（4）逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵)初等变换法（A:I）-(施行初等变换)（I:A-1） 5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A-1）B；XB=A，则X=B(A-1)；AXB=C，则X=(A

5、-1)C(B-1) 三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)n 有非零解；再特别，若为方阵，(1)|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式D0）只有零解；r(A)n，（或系数行列式D0）有无穷多组非零解。（2）解的结构：X=c11+c22+Cn-rn-r。（3）求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应

6、同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。3非齐次线性方程组（1）解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：X=u+c11+c22+Cn-rn-r。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积=a1b1+a2b2+anbn；（3）向量长度|=(a12+a22+an2) ( 根号)（4）向量单位化(1/|)；（5）向量组的正交化（施密特方法）设1，

7、2，n线性无关，则1=1，2=2-（21/1）*1，3=3-（31/11）*1-（32/22）*2，。3线性组合（1）定义若=k11+k2 2+knn，则称是向量组1， 2，n的一个线性组合，或称可以用向量组1， 2，n的一个线性表示。（2）判别方法将向量组合成矩阵，记A(1， 2，n)，B=(1，2，n,)若r (A)=r (B)，则可以用向量组1， 2，n的一个线性表示；若r (A)r (B)，则不可以用向量组1， 2，n的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设 k

8、11+k22+knn=0，若k1,k2,，kn不全为0，称线性相关；若k1,k2,，kn全为0，称线性无关。（2）判别方法： r(1， 2，n)=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：行列式某行（列）元素全为0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如

9、单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若ABBA，称A、B是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若ABBAI，称A

10、可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A)-1=(A-1)；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件： |A|0；r(A)=n; A-I;（4）逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵)初等变换法（A:I）-(施行初等变换)（I:A-1） 5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A-1）B；XB=A，则X=B(A-1)；AXB=C，则X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=

11、r(A)n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)n 有非零解；再特别，若为方阵，(1)|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式D0）只有零解；r(A)n，（或系数行列式D0）有无穷多组非零解。（2）解的结构：X=c11+c22+Cn-rn-r。（3）求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。3非齐次线性方程组（1）解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：X=u+c11+c22+

12、Cn-rn-r。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积=a1b1+a2b2+anbn；（3）向量长度|=(a12+a22+an2) ( 根号)（4）向量单位化(1/|)；（5）向量组的正交化（施密特方法）设1， 2，n线性无关，则1=1，2=2-（21/1）*1，3=3-（31/11）*1-（32/22）*2，。3线性组合（1）定义若=k11+k2 2+knn，则称是向量

13、组1， 2，n的一个线性组合，或称可以用向量组1， 2，n的一个线性表示。（2）判别方法将向量组合成矩阵，记A(1， 2，n)，B=(1，2，n,)若r (A)=r (B)，则可以用向量组1， 2，n的一个线性表示；若r (A)r (B)，则不可以用向量组1， 2，n的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设 k11+k22+knn=0，若k1,k2,，kn不全为0，称线性相关；若k1,k2,，kn全为0，称线性无关。（2）判别方法： r(1， 2，n)n，线性相关；r(

14、1， 2，n)=n，线性无关。若有n个n维向量，可用行列式判别：n阶行列式aij0，线性相关（0无关） (行列式太不好打了)5极大无关组与向量组的秩（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法设A(1， 2，n)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1定义对方阵A，若存在非零向量X和数使AXX，则称是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程|I-A|=0的根即为特征值，将特征值代入对应齐次线性方程组(I-A)X0中求出方程组的所有非零解即为特征向

15、量。3重要结论：（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；（2）A与A的转置矩阵A有相同的特征值；（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1定义对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称A与B相似。2求A与对角矩阵相似的方法与步骤（求P和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为。3求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型n1定义n元二次多项式f(x1,x2,，xn)= aijxixj称为二次型,若aij=0(ij)，则称为二交型的标准型。i,j=12二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q-1=Q，即正交变换既是相似变换又是合同变换。3二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略）；（2）正定的充要条件：A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；