数学：辽宁省瓦房店市第八初级中学《11.3 角平分线的性质》课件（人教版八年级上）.ppt

1、在纸上任意画一个角，在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方用剪刀剪下，用折纸的方法，试确定角的平分线法，试确定角的平分线你能发现什么吗？你能发现什么吗？新课导入新课导入动动动动手手1会用尺规作一个已知角的平分线；会用尺规作一个已知角的平分线；2掌握角平分线的性质掌握角平分线的性质知识与能力知识与能力教学目标教学目标1在探究作已知角的平分线的方法和角在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉；平分线的性质的过程中，发展几何直觉；2提高综合运用三角形全等的有关知识提高综合运用三角形全等的有关知识解决实际问题的能力；解决实际问题的能力；3掌握简单的角平分线在生产、生活中掌

2、握简单的角平分线在生产、生活中的应用的应用过程与方法过程与方法1在探究作角的平分线的过程中，培在探究作角的平分线的过程中，培养探究的兴趣，增强解决问题的信心，获得养探究的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验；解决问题的成功体验；2通过合作、交流、讨论，增强合作、通过合作、交流、讨论，增强合作、沟通能力沟通能力情感态度与价值观情感态度与价值观1掌握角平分线的性质定理及其逆定理；掌握角平分线的性质定理及其逆定理；2角平分线性质的证明及运用角平分线性质的证明及运用1角平分线性质的探究；角平分线性质的探究；2角平分线性质定理及其逆定理的证角平分线性质定理及其逆定理的证明及应用明及应用重点重

3、点难点难点教学重难点教学重难点 已知一个角，怎样将它平分呢？已知一个角，怎样将它平分呢？ABO想一想想一想（1）已知）已知AOB，以以O为圆心，适当长为半为圆心，适当长为半径作弧，交径作弧，交OA于于M，交，交OB于于N （2）分别以）分别以M，N为圆心大于为圆心大于 1/2 MN的长为半径作弧两弧的长为半径作弧两弧在在AOB的内部交于的内部交于（3）作射线）作射线OC射线射线OC即为所求即为所求用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线A A证明：在证明：在ADC和和ABC 中，中，AB=AD，AC=AC，DC=BC，ADCABC (SSS)DAC=BAC AE平分平分BAD如图：如图：AB=AD

4、，BC=DC，求，求AC的延长的延长线线AE是是BAD的平分线的平分线练一练一练练ACBDE1将将AOB对折，使第一条折痕为斜对折，使第一条折痕为斜边，再折出一个直角三角形；边，再折出一个直角三角形；2折痕折痕PE和和PD相等吗？相等吗？POD和和POE全等吗？全等吗？3试着证明试着证明ODAP C BE 证明：证明：OC平分平分AOB，AOC=BOC，又又 PDOA，PEOB，PDO=PEO=90在在POD和和POE中，中，AOC=BOC，PDO=PEO，OP=OP，PODPOE (AAS)，PD=PE COBAPDE知识要知识要点点 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角

5、的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线的性质：角的平分线的性质：QDQDOAOA，QEQEOBOB，点，点，点，点QQ在在在在AOBAOB的平分线上，的平分线上，的平分线上，的平分线上，QD QD=QEQEOABQDE证明：证明：QDOA，QEOB（已知），（已知），QDO=QEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在RtQDO和和RtQEO中，中，QO=QO（公共边），（公共边），QD=QE，RtQDO RtQEO（HL），），QOD=QOE，点点Q在在AOB的平分线上的平分线上例例1已知：如图，已知：如图，QDOA，QE OB，点

6、，点D、E为垂足，为垂足，QD=QE求证：点求证：点Q在在AOB的平分线上的平分线上OABQDE角的内部到角的两边的距离相等的点角的内部到角的两边的距离相等的点角的内部到角的两边的距离相等的点角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上在角的平分线上在角的平分线上在角的平分线上 QDQDOAOA，QEQEOBOB，QDQDQEQE点点点点QQ在在在在AOBAOB的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上用数学语言表示为：用数学语言表示为：用数学语言表示为：用数学语言表示为：结论结论OABQDE证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，BM是是ABC的角平分线，的

7、角平分线，点点P在在BM上，上，PD=PE（角平分线上的（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）点到这个角的两边距离相等）同理，同理，PE=PFPD=PE=PF即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等ABCPMN例例3如图，如图，ABC的角平分线的角平分线BM，CN相交于点相交于点P求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEF内心：内心：三角形的三内三角形的三内三角形的三内三角形的三内角平分线交于一点，这点叫角平分线交于一点，这点叫角平分线交于一点，这点叫角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心做三角形的内心做三角形的内心做三角形的内心三角形的内心到

8、三角形三角形的内心到三角形三角形的内心到三角形三角形的内心到三角形三边的距离相等三边的距离相等三边的距离相等三边的距离相等知识要知识要点点三角形的五心：三角形的五心：ABCOEFG旁心：旁心：三角形的一内角平分线三角形的一内角平分线三角形的一内角平分线三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一和另外两顶点处的外角平分线交于一和另外两顶点处的外角平分线交于一和另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心点，这点叫做三角形的旁心点，这点叫做三角形的旁心点，这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心三角形有三个旁心三角形有三个旁心三角形有三个旁心三角形的内心到三角形三边的距三角形的内心

9、到三角形三边的距三角形的内心到三角形三边的距三角形的内心到三角形三边的距离相等离相等离相等离相等ABC重心：重心：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心倍，上述交点叫做三角形的重心ABC垂心：垂心：三角形的三条高交于一点，三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心这点叫做三角形的垂心ABC练一练一练练如图，已知如图，已知ABC的外角的外角DAB和和ABE的平分线相交于点的平分线相交于点F，求证：点求证：点F在在DCE的平分线上的平分线上ABCFED证明：证明：过点过点F作作FG

10、AD于于G，FHBE于于H，FMAB于于M，点点F在在DAB的平分线上，的平分线上，FGAD，FMAB，FG=FM又又点点F在在ABE的的平分线上，平分线上，FHBE，FMAB，FM=FH，FG=FH，点点F在在DAE的平分线上的平分线上FABCEDGHMs如图，要在如图，要在S区建一个贸易市场，使它到区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，铁路和公路的距离相等，离公路与铁路交叉离公路与铁路交叉处处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为尺为1：20 000）想一想想一想DC解：解：作铁路和公路的夹角的角平分线作铁路和公路的夹角的角平分线OC，截取，

11、截取OD=2.5cm，D即为所求即为所求OS如图，如图，ABC中，中，C=90，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF，求证：，求证：CF=EB练一练一练练ACDBEF证明：证明：AD平分平分CAB，DEAB，C=90，CD=DE（角平分线的性质）（角平分线的性质）在在tFCD和和RtDBE中，中，CD=DE，DF=DB，RtCDF RtEDB（HL），），CF=DE1角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等2角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，

12、在这个到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上角平分线上3角平分线的性质定理和角平分线角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径途径课堂小结课堂小结1（1）1=2，DCAC，DEAB _（_ _）（2）DCAC，DEAB，DC=DE _（_ _）1=2DC=DE 到一个角的两边的距到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上离相等的点，在这个角平分线上 在角平分线上的点到在角平分线上的点到角的两边的距离相等角的两边的距离相等随堂练习随堂练习ACDEB122直线表示三条相互交叉的公路，现要建一直线表示三条相互交叉的公路，现要建

13、一 个货物中转站，要求它到三条公路的距离个货物中转站，要求它到三条公路的距离 相等，则可供选择的地址有：相等，则可供选择的地址有：()A一处一处 B 两处两处 C三处三处 D四处四处D DADNE BFMC3已知：已知：BDAM于点于点D，CEAN于点于点E，BD，CE交点交点F，CF=BF，求证：点，求证：点F在在 A的平分线上的平分线上提示：提示：证明证明CDF BEF4已知：如图，已知：如图，C=C=90 AC=AC 求证：求证：（1）ABC=ABC ；（2）BC=BC （要求不用三角形全等的（要求不用三角形全等的 判定）判定）CAC证明：证明：提示：利用角平分线提示：利用角平分线定理定理1证明证明OMPONP2证明证明BDECDF3证明证明DOBEOC4证明证明EPDFPD5证明证明PDFPEF6证明证明DEGDFG，得，得EGD=FGD习题答案习题答案