上海交大《现代控制理论》第五章.doc

1、 考虑如下线性定常系统式中 利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。下面，我们来求解这个问题，并用本章介绍的3种方法中的每一种求解。 方法1：第一种方法是利用式（5.13）。该系统的特征方程为：因此期望的特征方程为因此参照式（5.13），可得 方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为并使和期望的特征多项式相等，可得 因此从中可得或 方法3：第三种方法是利用爱克曼公式。参见式（5.18），可得 由于

2、且可得显然，这3种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的。使用状态反馈方法，正如所期望的那样，可将闭环极点配置在s = -2j4和s = -10处。应当注意，如果系统的阶次n等于或大于4，则推荐使用方法1和3，因为所有的矩阵计算都可由计算机实现。如果使用方法2，由于计算机不能处理含有未知参数的特征方程，因此必须进行手工计算。5.2.6 注释对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位置（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。注意，所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰、测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度，则干扰和测量噪

3、声的影响通常也随之增大。如果系统是2阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来。因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵K时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的期望特征方程）下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。5.3 利用极点配置法设计调节器型系统考虑如图5.2所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在平面内运动的二维问题。 图5.2 倒立摆系统希望在有干扰时，保持摆垂直。当以合适的控制力施加于小车时，可将该倾斜的摆返回

4、到垂直位置，且在每一控制过程结束时，小车都将返回到参考位置= 0。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，用合理的阻尼（如对主导闭环极点有=0.5），可快速地（如调整时间约为2秒）使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置（ = 0）。假设M、m和l的值为M = 2千克， m = 0.1千克， l = 0.5米进一步设摆的质量集中在杆的顶端，且杆是无质量的。对于给定的角度和（/或）角速度的初始条件，设计一个使倒立摆保持在垂直位置的控制系统。此外，还要求控制系统在每一控制过程结束时，小车返回到参考位置。该系统对初始条件的干扰有效地做出响应（所期望的角d总为零，并且期望的小车的位

5、置总在参考位置上。因此，该系统是一个调节器系统）。这里，我们采用极点配置的状态反馈控制方法来设计控制器。如前所述，对任意极点配置的充要条件为系统状态完全能控。设计的第一步是推导倒立摆系统的数学模型。5.3.1 数学建模我们首先推导了如下图5.a所示的倒立摆系统的数学模型。结论：当角度不大时，描述系统动态特性的方程可以写为整理后可得(5.21)(5.22)从式（5.21）可得系统的传递函数为代入给定的数值，且注意到g = 9.81米/秒2，可得 显然，该倒立摆系统在负实轴上有一个极点（s = -4.539），另一个极点在正实轴上（s = 4.539），因此，该系统是开环不稳定的。定义状态变量为注

6、意，表示摆杆围绕点P的旋转角，x表示小车的位置，将和x作为系统的输出，即 又由于和x均是易于量测的量。由状态变量的定义和式（5.21）和（5.22），可得 以向量-矩阵方程的形式表示，可得(5.23)(5.24)式（5.23）和（5.24）给出了该倒立摆系统的状态空间表达式（注意，该系统的状态空间表达式不是唯一的，存在无穷多个这样的表达式）。代入给定的M、m和l的值，可得于是，式（5.23）和（5.24）可重写为式中 采用下列线性状态反馈控制方案 为此首先检验该系统是否状态完全能控。由于的秩为4，所以系统是状态完全能控的。 系统的特征方程为因此 其次，选择期望的闭环极点位置。由于要求系统具有相

7、当短的调整时间（约2秒）和合适的阻尼（在标准的二阶系统中等价于= 0.5），所以我们选择期望的闭环极点为(i =1,2,3,4），其中 在这种情况下，1，和2是一对具有= 0.5和n = 4的主导闭环极点。剩余的两个极点3和4位于远离主导闭环极点对的左边。因此，3和4响应的影响很小。所以，可满足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程为因此现采用式（5.13）来确定状态反馈增益矩阵K，即式中由下式得到 因此故状态反馈增益矩阵K为反馈控制输入为 注意，这是一个调节器系统。期望的角d总为零，且期望的小车的位置xd也总为零。因此，参考输入为零。图5.3为用于倒立摆系统的状态反馈控制结构图（因为该系统中的参

8、考输入总为零，所以在图中没有画出）。图5.3 具有线性状态反馈控制的倒立摆系统5.4.2 利用MATLAB确定状态反馈增益矩阵KMATLAB Program 5.3是一种能求出所需状态反馈增益矩阵K的MATLAB程序。MATLAB Program 5.3%-Design of an inverted pendulum control system-%*This program determines the state-feedback gain%matrix K = k1,k2 k3 k4 by use of Ackermanns%formula*%*Enter matrices A,B,C,

9、and D*A=0100; 20.601000; 0 000; -0.4905000;B=0;-1;0;0.5;C=1 0 0 0; 0 0 1 0;D=0;0;%*Define the controllability matrix M and check its rank*Q=B A*B A2*B A3*B;rank(Q)ans= 4%*Since the rank of Q is 4, the system is completely%state controllable. Hence,arbitrary pole placement is %possible*%*Enter the de

10、sired characteristic polynomial,which $can be obtained defining the following matrix J and %entering statement poly(J)*J=-2+2*sqrt(3)*i000;0 -2-2*sprt(3)*i00;00-100;000-10JJ=poly(J)JJ=1.0e+003*0.00100.02400.19600.72001.6000%*Enter characteristic polynomial Phi*Phi=polyvalm(poly(J),A);%*State feedbac

11、k gain matrix K can be determined%from*K=0001*(inv(Q)*PhiK=-298.1504-60.6972-163.09889-73.39455.4.3 所得系统对初始条件的响应当状态反馈增益矩阵确定后，系统的性能就可由计算机仿真来检验。为了求得对任意初始条件的响应，可按下列步骤进行：系统的基本方程为状态方程和线性反馈控制律 将上述控制输入代入状态方程，可得 将有关数据代入上式，即(5.25) 下面我们用MATLAB来求所设计的系统对初始条件的响应。 系统的状态方程为式(5.25）。假设初始条件为(5.26) 将式（5.25）重写为式中 将初始条件

12、向量定义为，即则系统对初始条件的响应可通过求解下列方程得到（见随后的补充部分），即式中补充：考虑如下定义的系统，当初始条件给定时，我们求其响应。首先，我们对两边进行拉普拉斯变换得进一步的，得再取拉普拉斯反变换，得于是我们得到了一个包含初始条件的微分方程。现在定义于是两边积分得其中，。而因此，通过求解即可得到，初始条件为的响应。MATLAB Program 5.4 将求出由式（5.25）定义的系统对由式（5.26）指定的初始条件的响应。注意，在给出的MATLAB程序中，使用下了列符号：MATLAB Program 5.4%-Response to intial condition-%*This

13、program obtains the response of the system%xdot=(Ahat)x to the given initial condition x(0)*%*Enter matricesA,B,and K to produce matrix AA%=Ahat*A= 0100;20.601000;0001;-4.4905000;B=0;-1;0;0.5;K=-298.1504 -60.6972 -163.0989 -73.3945;AA=A-B*K;%*Enter the initial condition matrix BB=Bhat*BB=0.1;0;0;0;x

14、,z,t=step(AA,BB,AA,BB);x1=1000*x;x2=0100*x;x3=0010*x;x4=0001*x;%*Plot response curves x1 versus t,x2 versus t,x3 versus t,%and x4 versus t on one diagram*subplot(2,2,1);plot(t,x1,);gridtitle(x1(Theta) versus t)xlabel(t Sec)ylabel(x1 = Theta)subplot(2,2,2);plot(t,x2);gridtitle(x2(Theta dot) versus t)

15、xlabel(t Sec)ylabel(x2 = Theta dot)subplot(2,2,3);plot(t,x3);gridtitle(x3 (Displacement of Cart) versus t)xlabel(t Sec)ylabel(x3 = Displacement of Cart)subplot(2,2,4);plot(t,x4);gridtitle(x4(Velocity of Cart) versus t)xlabel(t Sec)ylabel(x4 = Velocity of Cart) 图5.4画出了用MATLAB Program 5.4求得的响应曲线。这些曲线表

16、明，当给定倒立摆系统的初始条件(0) = 0.1孤度，x (0) = 0和时，它是如何返回到参考位置（= 0，x = 0）的。不难看出，这些响应曲线是令人满意的（这里，我们用subplot命令同时画出几个独立的曲线 ，并将它们画在同一张纸上）。注意，该响应曲线依赖于所期望的特征方程（即所期望的闭环极点），这一点非常重要。对不同的期望特征方程，响应曲线（对相同的初始条件）是不同的。较快的响应通常要求较大的控制信号。在设计这样的制系统时，最好检验几组不同的期望闭环极点，并确定相应的矩阵K。在完成系统的计算机仿真并检验了响应曲线后，选择系统总体性能最好的矩阵K。系统总体性能最好的标准取决于具体情况，

17、包括应考虑的经济因素。图5.4 倒立摆系统在初始条件作用下的响应5.4 状态重构问题与Luenberger状态观测器前已指出，对于状态完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点。事实上，不仅是极点配置，而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制 (LQ)问题等，也都可由状态反馈实现。然而，在5.2 节介绍极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变量。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器

18、，或简称观测器。观测器分为全维状态观测器降维状态观测器最小阶状态观测器或最小阶观测器5.4.1 问题的提法在下面有关状态观测器的讨论中，我们用表示被观测的状态向量。在许多实际情况中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。考虑如下线性定常系统(5.27)(5.28) 假设状态向量可由如下动态方程(5.29)中的状态来近似，则该式表示状态观测器，其中称为观测器的增益矩阵。注意到状态观测器的输入为和，输出为。式（5.29）中右端最后一项包括可量测输出与估计输出之差的修正项。矩阵起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量。当此模型使用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B之间存在差异

19、时，由于动态模型和实际系统之间的差别，该附加修正项将减小这些影响。图5.5所示为带全维状态观测器的系统方块图。图5.5 全维状态观测器方块图5.4.2 全维状态观测器的误差方程在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（5.27）和（5.28）定义。观测器的方程由式（5.29）定义。为了得到观测器的误差方程，将式（5.27）减去式（5.29），可得(5.30) 定义与之差为误差向量，即则式（5.30）可改写为(5.31) 由式（5.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵的特征值决定。如果矩阵是稳定矩阵，则对任意初始误差向量，误差向量都将趋近于零。也就是说，不管和的值如何，都将收敛

20、到。如果所选的矩阵的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零 (原点)，此时将称为的渐近估计或重构。如果系统完全能观测，下面将证明可以通过选择，使得具有任意的期望特征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵，以便产生期望的矩阵。5.4.3 对偶问题全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵，使得由式（5.31）定义的误差动态方程，以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵的特征值决定）。因此，全维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的，使得具有期望的特征值。此时，全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与5.2节讨论的极点

21、配置相同的问题。考虑如下的线性定常系统在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统的极点配置问题。假设控制输入为 如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵K，使得反馈闭环系统的系统矩阵得到一组期望的特征值。如果,是状态观测器系统矩阵的期望特征值，则可通过取相同的作为其对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值，从而 注意到和的特征值相同，即有 比较特征多项式和观测器的系统矩阵（参见式（5.31）的特征多项式，可找出和的关系为因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即 在下面的讨论中，我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题，考虑为其对偶系统的极点配

22、置问题，即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵K，然后利用关系式，确定出原系统的观测器增益矩阵K。5.4.4 可观测条件如前所述，对于使具有期望特征值的观测器增益矩阵的确定，其充要条件为原给定系统的对偶系统是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为的秩为n 。而这正是由式(5.27)和(5.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味着。由式（5.27）和(5.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。下面将利用上述对偶关系，介绍全维状态观测器的设计算法，包括相应的利用能观标准型的观测器综合算法、直接代入法，以及爱克曼公式。5.4.5 全维状态

23、观测器的算法（利用能观标准型方法）考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统(5.32)(5.33)式中，。假设系统是状态完全能观测的，又设系统结构如图5.5所示。在设计全维状态观测器时，若将式(5.32)、(5.33)给出的系统变换为能观测标准形，则相应的设计问题就相当方便了。考虑对偶关系，将式（5.32）和（5.33）的系统变换为能观测标准形，可按下列步骤进行，即首先定义一个变换矩阵，使得(5.34)式中，是由式（5.32）给出的如下特征方程的系数 显然，由于假设系统是完全能观测的，所以矩阵的逆存在。现定义一个新的n维状态向量 (5.36)则式（5.32）和（5.33）为(5.37)(5.3

24、8)式中(5.39)(5.40)(5.41)此时式（5.37）和（5.38）即是能观测标准形。从而给定一个系统的状态方程和输出方程，如果系统是完全能观测的，并且通过采用式（5.36）的变换，将原系统的状态向量变换为新的状态向量，则可将给定系统的状态方程和输出方程变换为能观测标准形。注意，如果矩阵A已经是能观测标准形，则= I。如前所述，选择由=(5.42)给出的状态观测器的动态方程。现定义(5.43) 将式（5.43）代入式（5.42），有(5.44) 由式（5.37）减去式（5.44），可得(5.45)定义则式（5.45）为(5.46)要求误差动态方程是渐近稳定的，且以足够快的速度趋于零。因

25、此，确定矩阵的步骤是：首先选择观测器的极点（的特征值），然后确定，使其等于期望的观测器极点。利用能观标准型可得式中由于是一个n维向量，则令(5.47) 参考式（5.41），有和特征方程为即或者(5.48)可见，每个i只与特征方程中的一个系数有关。 假设误差动态方程的期望特征方程为 (5.49)注意，期望的特征值确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较式（5.48）和(5.49)的s同幂项的系数，可得从而可得 于是，由式（5.47）得到因此(5.50)式（5.50）确定了所需的状态观测器增益矩阵。如前所述，式（5.50）也可通过其对偶问题由式（5.13）得到。也就是说，考虑对偶系统

26、的极点配置问题，并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵K。那么，状态观测器的增益矩阵可由确定（见例5.16）。一旦选择了期望的特征值（或期望的特征方程），只要系统状态完全能观测，就能设计出全维状态观测器。Luenberger曾经指出，当观测器期望极点的选择，使衰减太快，即使特征值的实部太负，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大，而且也存在观测器的可实现性问题 (因为衰减速度太快，则矩阵较大)，因此Luenberger建议，进行观测器本身的极点配置时，只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态观测器

27、的响应速度至少比所考虑的闭环系统快2-5倍。如前所述，全维状态观测器的方程为(5.51) 注意，迄今为止，我们假设观测器中的矩阵A和B与实际系统中的严格相同。实际上，这做不到。因此，误差动态方程不可能由式（5.46）给出，这意味着误差不可能趋于零。因此，应尽量建立观测器的准确数学模型，以使相应的误差小到令人满意的程度。5.4.6 求状态观测器增益矩阵的直接代入法与极点配置算法的情况类似，如果系统是低阶的()，可将矩阵直接代入期望的特征多项式进行计算。例如，若是一个3维向量，则观测器增益矩阵可写为 将该代入期望的特征多项式 通过使上式两端s的同次幂系数相等，即可确定出、和的值。如果n =1,2或

28、者3，其中n是状态向量的维数，则该方法十分简便（虽然该方法可应用于n = 4, 5, 6, 的情况，但计算有可能非常繁琐）。5.4.7 爱克曼公式(Ackermanns Formula)考虑如下的单输出线性定常系统(5.52)(5.53) 在5.2节中，我们已推导了用于式（5.52）系统极点配置的爱克曼公式，其结果已由式（5.18）给出，现重写为 对于由式（5.52）和(5.53)定义的对偶系统上述极点配置的爱克曼公式可改写为(5.54)由于状态观测器的增益矩阵可由给出，这里的由式（5.54）确定。从而(5.55)式中，是状态观测器的期望特征多项式，即这里，, , ,是期望的特征值。式（5.5

29、5）称为确定观测器增益矩阵的爱克曼公式。5.4.8 最优选择的注释参考图5.5，应当指出，作为对观测器动态方程修正的观测器增益矩阵，通过反馈信号来考虑系统中的未知因素。如果含有明显的未知因素，那么利用矩阵的反馈信号也应该比较大。然而另一方面，如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰，则输出是不可靠的。因此，由矩阵引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵时，应该仔细检查包含在输出中的干扰和噪声的影响。应强调的是观测器增益矩阵依赖于期望的特征方程在许多情况中，, , ,的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作为期望的特征方程。对于每个期望的特征方程，可有不同的观测器增益矩阵。在设计状态观测器

30、时，最好在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵。 对不同的矩阵必须进行仿真验证，以评估系统的最终性能。当然，应从系统总体性能的观点来选取最好的。在许多实际问题中，最优矩阵的选取，归结为对快速响应及对干扰和噪声灵敏性之间的一种折衷。 例5.2 考虑如下的线性定常系统式中设计一个全维状态观测器。设系统结构与图5.5所示相同。又设观测器的期望特征值为 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵，为此先检验能观测性矩阵，即的秩为2。因此，该系统是完全能观测的，并且可确定期望的观测器增益矩阵。我们将用3种方法来求解该问题。解 方法1：采用式（5.50）来确定观测器的增益矩阵

31、。由于该状态空间表达式已是能观测标准形，因此变换矩阵。由于给定系统的特征方程为因此观测器的期望特征方程为因此 故观测器增益矩阵可由式（5.50）求得如下 方法2：参见式（5.31）观测器的特征方程为 定义则此时特征方程为(5.56)由于期望的特征方程为比较式（5.56）和以上方程，可得即 方法3：采用式（5.55）给出的爱克曼公式。式中因此从而 当然，无论采用什么方法，所得的都是相同的。 全维状态观测器由式（5.51）给出为或者 与极点配置的情况类似，如果系统阶数n 4，则推荐使用方法1和3，这是因为在采用方法1和3时，所有矩阵都可由计算机实现，而方法2总是需要手工计算包含未知参数的特征方程。